Giải Toán 8 sách VNEN bài 3: Diện tích hình thang - Diện tích hình bình hành

A. Hoạt động khởi động

Một mảnh đất gồm các hình chữ nhật AGBF, FBCE, CEDH và các kích thước a = AD, b = BC, x = AF, h = BF (hình 119).

Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Có thể tính theo x và h diện tích phần đất có dạng tam giác ABF hay không?

b) Có thể tính theo a, b, x và h diện tích phần đất có dạng tam giác CED hay không?

c) Có thể tính theo b và h diện tích phần đất có dạng hình chữ nhật BCEF hay không?

d) Diện tích phần đất có dạng hình thang ABCD có thể tính theo a, b và h hay không?

Trả lời:

a) Có thể tính theo x và h diện tích phần đất có dạng tam giác ABF như sau: 

S$_{ABF}$ = $\frac{1}{2}$.AF.BF = $\frac{1}{2}$.x.h (đơn vị diện tích).

b) Có thể tính theo a, b, x và h diện tích phần đất có dạng tam giác CED như sau: 

S$_{CED}$ = $\frac{1}{2}$CE.ED = $\frac{1}{2}$.h.(a - b - x) (đơn vị diện tích).

c) Có thể tính theo b và h diện tích phần đất có dạng hình chữ nhật BCEF như sau: 

S$_{BCEF}$ = BC.CE = b.h (đơn vị diện tích).

d) Diện tích phần đất có dạng hình thang ABCD có thể tính theo a, b và h như sau: 

S$_{ABCD}$ = S$_{ABF}$ + S$_{CED}$ + $_{BCEF}$

= $\frac{1}{2}$.x.h + $\frac{1}{2}$.h.(a - b - x) +  b.h

= $\frac{1}{2}$.x.h + $\frac{1}{2}$.a.h - $\frac{1}{2}$.b.h - $\frac{1}{2}$.x.h +b.h

=  $\frac{1}{2}$.a.h +  $\frac{1}{2}$.b.h (đơn vị diện tích).

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 130 toán VNEN 8 tập 1

Hình sau chụp một bàn học mà mặt bàn có hình dạng hình thang cân và bản thiết kế của nó. Dựa vào thông tin đã cho hãy tính diện tích của mỗi mặt bàn đó.

Trả lời:

Diện tích mỗi mặt bàn đó là: $\frac{1}{2}$.(1205 + 3245).600 = 1335000 (mm$^{2}$).

Vậy diện tích mỗi mặt bàn đó bằng 1335000 mm$^{2}$.

Câu 2: Trang 130 toán VNEN 8 tập 1

a) Trên cùng lưới ô vuông, bạn Trung đã vẽ các hình thang như ở hình 123. Em hãy cho biết diện tích của mỗi hình, nếu chọn mỗi ô vuông làm một đơn vị diện tích.

b) Trên cùng lưới ô vuông, bạn Cường đã vẽ các hình như ở hình 124. Em hãy cho biết diện tích của mỗi hình, nếu chọn mỗi ô vuông làm một đơn vị diện tích.

Trả lời:

a) S$_{1}$ = $\frac{1}{2}$.3.(2 + 5) = 10,5 (đơn vị diện tích);

S$_{2}$ = $\frac{1}{2}$.4.(2 + 5) = 14 (đơn vị diện tích);

S$_{3}$ = $\frac{1}{2}$.3.(2 + 5) = 10,5 (đơn vị diện tích);

S$_{4}$ = $\frac{1}{2}$.5.(2 + 4) = 15 (đơn vị diện tích).

b) S$_{1}$ = 3.4 = 12 (đơn vị diện tích);

S$_{2}$ = 2.5 = 10 (đơn vị diện tích);

S$_{3}$ = 3.2 = 6 (đơn vị diện tích);

S$_{4}$ = 3.4 = 12 (đơn vị diện tích);

S$_{5}$ = 3.2 = 6 (đơn vị diện tích).

Câu 3: Trang 131 toán VNEN 8 tập 1

Bạn Bình cho rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm của hai đáy hình thang chia hình thang đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. Theo em, bạn Bình nói đúng hay sai? Vì sao? 

Trả lời:

Xét hình thang ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai đáy AB và CD

Dễ dàng nhận thấy hai hình thang AMND và MBCN có diện tích bằng nhau vì có các đáy bằng nhau (AM = MB; DN = NC) và có cùng chiều cao h.

Như vậy, bạn Bình nói đúng.

Câu 4: Trang 131 toán VNEN 8 tập 1

Bạn Minh đã vẽ hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) (hình 125). Gọi E và F tương ứng là trung điểm của AD và BC; gọi K và I tương ứng là hình chiếu vuông góc của E và F trên đường thẳng CD; gọi G và H tương ứng là hình chiếu vuông góc của E và F trên đường thẳng AB.

Bạn Minh cho rằng hai tam giác vuông EGA và EKD bằng nhau; hai tam giác vuông FHB và FIC bằng nhau.

Từ đó suy ra: S$_{ABCD}$ = S$_{GHIK}$ = KI.GK = EF.GK = $\frac{1}{2}$(AB + CD).GK.

Theo em, bạn Minh làm đúng hay sai? Vì sao?

Có thể xem đó là cách khác để tìm ra công thức tính diện tích hình thang hay không?

Trả lời:

Xét $\Delta$EGA vuông tại G và $\Delta$EKD vuông tại K, có:

$\widehat{GEA}$ = $\widehat{DEK}$

AE = DE (E là trung điểm AD)

$\Rightarrow$ $\Delta$EGA = $\Delta$EKD (cạnh huyền – góc nhọn)

Chứng minh tương tự, ta cũng có $\Delta$FHB = $\Delta$FIC.

Như vậy:

S$_{ABCD}$ = S$_{DEK}$ + S$_{CFI}$ + S$_{ABFIKE}$ = S$_{GAE}$ + S$_{FHB}$ + S$_{ABFIKE}$ = S$_{GHIK}$ = KI.GK = EF.GK (vì GHIK là hình chữ nhật do có 4 góc vuông). (1)

Lại có: EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên EF = $\frac{1}{2}$(AB + CD). (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ S$_{ABCD}$ = S$_{GHIK}$ = KI.GK = EF.GK = $\frac{1}{2}$(AB + CD).GK.

Vậy, bạn Minh làm đúng. Có thể xem đó là cách khác để tìm ra công thức tính diện tích hình thang.

Câu 5: Trang 131 toán VNEN 8 tập 1

Em hãy quan sát hình 126, có IG // FU, FI // GE, GU // IR, IE // GR. FE = IG = ER = RU. Chứng minh rằng: S$_{FIGE}$ = S$_{IGRE}$ = S$_{IGUR}$.

Trả lời:

Vì IG // FU nên khoảng cách giữa hai đường thẳng IG và FU không đổi và bằng h.

Như vậy, các hình bình hành FIGE, IGRE và IGUR có các cạnh FE = ER = RU và có cùng chiều có ứng với cạnh đó nên diện tích của chúng bằng nhau. Tức là S$_{FIGE}$ = S$_{IGRE}$ = S$_{IGUR}$ (đpcm).

Câu 6: Trang 132 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD (hình 127). Qua hai điểm A và D vẽ đường thẳng a. Hai điểm M, N di động trên a sao cho BMNC là hình bình hành. Chứng minh rằng ABCD và BMNC có cùng diện tích.

Trả lời:

ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow$ S$_{ABCD}$ = CD.BC (chiều dài nhân chiều rộng)
BCMN là hình bình hành $\Rightarrow$ S$_{BMNC}$ = BC.CD (một cạnh nhân đường cao tương ứng)
Vậy S$_{ABCD}$ = S$_{BMNC}$ (đpcm).

Câu 7: Trang 132 toán VNEN 8 tập 1

a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với một hình bình hành.

b) Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật đó.

Trả lời:

a)

b)

D. Hoạt động vận dụng

Câu 2: Trang 132 toán VNEN 8 tập 1

Một mảnh sân có dạng hình chữ nhật với diện tích là 140m$^{2}$ và có chiều rộng là 7m. Người ta mở rộng sân bằng cách kéo dài một phía theo chiều rộng thành 11,5m và tạo thành hình thang (hình 128). Diện tích của sân sau khi mở rộng là bao nhiêu m$^{2}$?

Trả lời:

Chiều dài của mảnh sân trước khi mở rộng là: 140 : 7 = 20 (m)

Diện tích của sân sau khi mở rộng là: $\frac{1}{2}$(7 + 11,5).20 = 185 (m$^{2}$).