Hướng dẫn giải nhanh Toán 8 Cánh diều bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều

I. Cộng hai đa thức.

Bài 1: Cho hai đa thức: P =…

a) Viết tổng P + Q theo hàng ngang.

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

b) P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

= (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

c) Tính tổng P + Q, ta được:

P + Q = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

= 2x² + 2y². 

Bài 2: Tính tổng của hai đa thức: M =… và N =…

Hướng dẫn trả lời:

M + N = (x³ + y³) + (x³ – y³)

= (x³ + y³) + (x³ – y³) = x³ + y³ + x³ – y³

= (x³ + x³) + (y³ – y³) = 2x³.

Vậy tổng hai đa thức M + N = 2x³ 

II. Trừ hai đa thức

Bài 1: Cho hai đa thức: P =… và Q =…

a) Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc.

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính hiệu P - Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: P – Q = (x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²).

b) Ta bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của Q rồi nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, được:

P – Q = x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y²

= (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²).

c) Hiệu P – Q là:

P – Q = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²) = 4xy. 

Bài 2: Với 3 đa thức A, B, C trong ví dụ 3, hãy tính:

a. B - C

b. (B - C) + A

Hướng dẫn trả lời:

a) B – C = (2x² – y²) – (x² – 3xy)

= 2x² – y² – x² + 3xy = (2x² – x²) + 3xy – y²

= x² + 3xy – y²;

b) (B – C) + A = (x² + 3xy – y²) + (x² – 2xy + y²)

= x² + 3xy – y² + x² – 2xy + y²

= (x² + x²) + (3xy – 2xy) + (y² – y²)

= 2x² + xy. 

III. Nhân hai đa thức

1) Nhân hai đơn thức

Bài 1:

a) Tính tích: …

b) Nêu quy tắc nhân hai đơn thức một biến.

Hướng dẫn trả lời:

a) 3x² . 8x⁴ = (3 . 8) (x² . x⁴) = 24x⁶.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức một biến:

Muốn nhân hai đơn thức một biến ta làm như sau:

+) Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

+) Thu gọn đơn thức nhận được ở tích. 

Bài 2: Tính tích của hai đơn thức:…

Hướng dẫn trả lời:

x³y⁷ . (−2x⁵y³)

= −2 (x³. x⁵) (y⁷. y³)

= −2x⁸y¹⁰.

Vậy, tích của hai đơn thức là: −2x⁸y¹⁰ 

2) Nhân đơn thức với đa thức:

Bài 3:

a. Tính tích: …

b. Nêu quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến.

Hướng dẫn trả lời:

a) 11x³ . (x² – x + 1)

= 11x³ . x² – 11x³ . x + 11x³ . 1

= 11x⁵ – 11x⁴ + 11x³.

b) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau. 

Bài 4: Tính tích:…

Hướng dẫn trả lời:

(-$\frac{1}{2}$xy).(8x² - 5xy +2y²)

= (-$\frac{1}{2}$xy).8x²-(-$\frac{1}{2}$xy).5xy+(-$\frac{1}{2}$xy).2y²

= -4x³y + $\frac{5}{2}$x²y² - xy³ 

3) Nhân hai đa thức:

Bài 5:

a) Tính tích: …

b) Nêu quy tắc nhân hai đa thức trong trường hợp một biến.

Hướng dẫn trả lời:

a) (x + 1)(x² – x + 1)

= x . x² – x . x + x . 1 + x² – x + 1

= x³ – x² + x + x² – x + 1

= x³ + 1.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau. 

Bài 6: Tính (x - y)(x - y)

Hướng dẫn trả lời:

(x – y)(x – y)

= x . x – x . y – y . x + y . y

= x² – 2xy + y². 

IV. Chia đa thức cho đơn thức

1) Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

Bài 1: Tính tích:…

Hướng dẫn trả lời:

9x⁵y⁴ . 2x⁴y² 

= (9. 2) (x⁵. x⁴) (y⁴. y²)

= 18x⁹y⁶. 

Bài 2: Cho P = … Tính giá trị của biểu thức P tại x = -0,5; y = -2

Hướng dẫn trả lời:

P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³)

= (21 : 7) (x⁴: x³) (y⁵: y³)

= 3xy².

Tại x = −0,5; y = −2, giá trị của P là:

3 . (−0,5) (−2)² = −1,5 . 4 = −6.

2) Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức:

Bài 3: Tính tích (3xy).(x+y)

Hướng dẫn trả lời:

(3xy)(x + y)

= 3xy . x + 3xy . y

= 3x²y + 3xy². 

Bài 4: Tìm thương trong phép chia đa thức: … cho đơn thức …

Hướng dẫn trả lời:

(12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴): (3x³y³)

= 12x³y³ : 3x³y³– 6x⁴y³ : 3x³y³+ 21x³y⁴: 3x³y³

= 4 – 2x+ 4y.

Vậy thương trong phép chia đa thức trên là: 4 – 2x+ 4y 

V) Bài tập

Bài 1: Thực hiện phép tính:…

Hướng dẫn trả lời:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x)

= (–xy) . (–2x²y) + (–xy) . 3xy – (–xy) . 7x

= 2x³y² – 3x²y² + 7x²y.

c) (x + y)(x² + 2xy + y²)

= x . x² + x . 2xy + x . y² + y . x² + y . 2xy + y . y²

= x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

= x³ + (2x²y + x²y) + (xy²+ 2xy²) + y³

= x³ + 3x²y + 3xy² + y³. 

Bài 2: Thực hiện phép tính:…

Hướng dẫn trả lời:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y)

= (39 : 13) (x⁵: x²) (y⁷: y) = 3x³y⁶.

b) (x²y² + $\frac{1}{6}$x³y² − x⁵y⁴) : ($\frac{1}{2}$xy²)

=x²y² : ($\frac{1}{2}$xy²) + $\frac{1}{6}$x³y² : ($\frac{1}{2}$xy²) - x⁵y⁴ : ($\frac{1}{2}$xy²)

= 2x + $\frac{1}{3}$x² - 2x⁴y²

Bài 3: Rút gọn biểu thức…

Hướng dẫn trả lời:

a) (x – y)(x² + xy + y²)

= x . x² + x . xy + x . y²– y . x² – y . xy– y . y²

= x³ + (x²y – x²y) + (xy²– xy²) – y³

= x³ – y³.

b) (x + y)(x² - xy + y²)

= x . x² - x . xy + x . y² + y . x² – y . xy + y . y²

= x³ - x²y + x²y + xy²– xy² + y³

= x³ + y³

c) (4x - 1).(6y + 1)-3x.(8y + $\frac{4}{3}$)

= 4x.6y + 4x.1 - 1.6y - 1.1 - 3x.8y - 3x.$\frac{4}{3}$

= 24xy + 4x - 6y - 1 -24xy - 4x = -6y-1

d) (x + y) (x - y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²)

= x.x − x.y + y.x − y.y + (x:x)(y⁴:y²) − (x³:x)(y²:y²)

= x² – xy + y.x − y² + 1.y^4-2 − x^3-1.1

= 0 

Bài 4:

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức…

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x…

Hướng dẫn trả lời:

a) P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1)

= 5x² – 2xy + y² – x² – y² – 4x² + 5xy – 1

= (5x² – x² – 4x²) + (5xy – 2xy) + (y²– y²) – 1

= 3xy – 1.

Với x = 1,2;  x + y = 6,2 ta tìm được y = 6,2 – x = 6,2 – 1,2 = 5.

Khi x = 1,2 và y = 5 giá trị của biểu thức P là:

3 . 1,2 . 5 – 1 = 18 – 1 = 17.

b) Ta có: (x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3)

= (2x³ – 10x²+ 8x + 3x²– 15x + 12) –(2x³ – x² – 10x – 6x² + 3x + 30)

= (2x³ – 7x² – 7x + 12) – (2x³ – 7x² – 7x + 30)

= 2x³ – 7x² – 7x+ 12 – 2x³ +7x²+ 7x – 30

= (2x³ – 2x³) +(7x² – 7x²) + (7x – 7x) + (12 – 30) = –8.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì

(x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3) = –8.

Vậy giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 

Bài 5:

a. Chứng minh rằng biểu thức P =… luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b. Chứng minh rằng biểu thức Q =… luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Hướng dẫn trả lời:

a) P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + x + 9x + 9)

= 10x – 5x² – x² – 10x – 9

= (– 5x² – x²) + (10x – 10x) – 9 = – 9.

Vậy P = – 9 với mọi giá trị của biến x.

Với mọi giá trị của biến x, P luôn nhận giá trị âm 

b) Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1

= 3x² + x² – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1

= (3x² + x²) + (4xy – 4xy) + (12x – 12x) + 1

= 4x² + 1

Vì 4x² ≥ 0 nên 4x² + 1 > 0.

Với mọi giá trị của biến x và y, Q luôn nhận giá trị dương

Bài 6: Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích tam giác vuông có hai cạnh lần lượt 6 (cm), 8 (cm) là: 

$\frac{1}{2}$.6.8 = 24 (cm²)

Sau khi mở rộng độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x + 6 (cm); y + 8 (cm).

Diện tích tam giác vuông lúc sau là:

$\frac{1}{2}$(x+6).(8+y)=$\frac{1}{2}$xy+4x+3y+24

Ta có đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x, y là:

$\frac{1}{2}$xy+4x+3y+24-24=$\frac{1}{2}$xy+4x+3y

Bài 7: Khu vườn của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m². Tính độ dài cạnh x(m) của khu vườn đó.

Hướng dẫn trả lời:

Trong Hình 4, ta thấy:

+) Khu vực nhà bác Xuân là hình vuông có cạnh x (m)

Diện tích khu vực nhà bác Xuân là: x² (m²).

+) Mảnh đất trồng rau có chiều dài bằng x – 10 (m) và chiều rộng bằng x – 15 (m).

Diện tích mảnh đất trồng rau là:

(x – 10)(x – 15)

= x² – 10x – 15x + 150

= x² – 25x + 150 (m²).

Theo đề bài, diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m² nên:

x² – (x² – 25x + 150) = 475

x² – x² + 25x – 150 = 475

25x – 150 = 475

25x = 625

x = 25.

Vậy khu vườn có độ dài 25 m.