Giải Toán 8 sách VNEN bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức

A. B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Điền vào chỗ trống để viết 3x$^{2}$ - 6x thành một tích của những đa thức:

3x$^{2}$ - 6x = 3x .......... - 3x.2 = 3x(x - ............).

Trả lời:

3x$^{2}$ - 6x = 3x.x - 3x.2 = 3x(x - 2).

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tich của những đa thức.

c) Thực hiện các yêu cầu sau:

- Phân tích các đa thức thành nhân tử:

2x$^{3}$ - x;                                              3x$^{2}$y$^{2}$ + 12x$^{2}$y - 15xy$^{2}$;

5x$^{2}$(x - 1) - 15x(x - 1);                       3x(x - 2y) + 6y(2y - x).

Trả lời:

2x$^{3}$ - x = x(2x$^{2}$ - 1);

3x$^{2}$y$^{2}$ + 12x$^{2}$y - 15xy$^{2}$ = 3xy(xy + 4x - 5y);

5x$^{2}$(x - 1) - 15x(x - 1) = (x - 1)(5x$^{2}$ - 15x) = 5x(x - 3)(x - 1);   

3x(x - 2y) + 6y(2y - x) = 3x(x - 2y) - 6y(x - 2y) = 3(x - 2y)(x - 2y) = 3(x - 2y)$^{2}$

- Tìm x sao cho 2x$^{2}$ - 6x = 0.

Trả lời:

2x$^{2}$ - 6x = 0 $\Leftrightarrow$ 2x(x - 3) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x = 0 hoặc x - 3 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 3.

Vậy x = 0 hoặc x = 3.

d) Chú ý:

• Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử. Lưu ý đên các tính chất: A = - (-A) và A - B = - (B - A)

2. a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

x$^{2}$ - 6x + 9;                  4x$^{2}$ - 36;                   8 - x$^{3}$.

Trả lời:

x$^{2}$ - 6x + 9 = x$^{2}$ - 2.x.3 + 3$^{2}$ = (x - 3)$^{2}$;                 

4x$^{2}$ - 36 = (2x)$^{2}$ - 6$^{2}$ = (2x - 6)(2x + 6);                   

8 - x$^{3}$ = 2$^{3}$ - x$^{3}$ = (2 - x)(4 - 2x + x$^{2}$).

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Trong nhiều trường hợp, ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.
• Ta gọi cách làm đó là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

c) Phân tích đa thức A = (2n + 3)$^{2}$ - 9 thành nhân tử. Từ đó chứng tỏ rằng A chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.

Trả lời:

A = (2n + 3)$^{2}$ - 9 = 4n$^{2}$ + 12n + 9 - 9 = 4n(n + 3) luôn chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x - 15y;                                                                b) $\frac{3}{5}$x$^{2}$ + 5x$^{4}$ - x$^{2}$y;

c) 14x$^{2}$y$^{2}$ - 21xy$^{2}$ + 28x$^{2}$y;                                       d) $\frac{2}{7}$x(3y - 1) - $\frac{2}{7}$y(3y - 1);

e) x$^{3}$ - 3x$^{2}$ + 3x - 1;                                                   f) (x + y)$^{2}$ - 4x$^{2}$;

g) 27x$^{3}$ + $\frac{1}{8}$;                                                              h) ( x + y)$^{3}$ - (x - y)$^{3}$. 

Trả lời:

a) 5x - 15y = 5(x - 3y);                                                               

b) $\frac{3}{5}$x$^{2}$ + 5x$^{4}$ - x$^{2}$y = x$^{2}$($\frac{3}{5}$ + 5x$^{2}$ - y);

c) 14x$^{2}$y$^{2}$ - 21xy$^{2}$ + 28x$^{2}$y = 7xy(2xy - 3y + 4x);                                       

d) $\frac{2}{7}$x(3y - 1) - $\frac{2}{7}$y(3y - 1) = $\frac{2}{7}$(3y - 1)(x - y);

e) x$^{3}$ - 3x$^{2}$ + 3x - 1 = x$^{3}$ - 3.x$^{2}$.1 + 3.x.1$^{2}$ - 1 = (x - 1)$^{3}$;                                                 

f) (x + y)$^{2}$ - 4x$^{2}$ = (x + y)$^{2}$ - (2x)$^{2}$ = (x + y - 2x)(x + y + 2x) = (-x + y)(3x + y);

g) 27x$^{3}$ + $\frac{1}{8}$ = (3x)$^{3}$ + ($\frac{1}{2}$)$^{3}$ = (3x + $\frac{1}{2}$)(9x$^{2}$ - $\frac{3}{2}$x + $\frac{1}{4}$);                                              

h) ( x + y)$^{3}$ - (x - y)$^{3}$ = [(x + y) - (x - y)][(x + y)$^{2}$ + (x + y)(x - y) + (x - y)$^{2}$]

                               = 2y(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$ + x$^{2}$ - y$^{2}$ + x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$) = 2y(3x$^{2}$ + y$^{2}$). 

Câu 2: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1

Tìm x, biết:

a) x$^{2}$(x + 1) + 2x(x + 1) = 0;                         b) x(3x - 2) - 5(2 - 3x) = 0;

c) $\frac{4}{9}$ - 25x$^{2}$ = 0;                                           d) x$^{2}$ - x + $\frac{1}{4}$ = 0.

Trả lời:

a) x$^{2}$(x + 1) + 2x(x + 1) = 0

$\Leftrightarrow$ x(x + 1)(x + 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x + 2 = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -2.

Vậy x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -2.

b) x(3x - 2) - 5(2 - 3x) = 0

$\Leftrightarrow$ x(3x - 2) + 5(3x - 2) = 0

$\Leftrightarrow$ (3x - 2)(x + 5) = 0

$\Leftrightarrow$ 3x - 2 = 0 hoặc x + 5 = 0 

$\Leftrightarrow$ x = $\frac{2}{3}$ hoặc x = -5.

Vậy x = $\frac{2}{3}$ hoặc x = -5.

c) $\frac{4}{9}$ - 25x$^{2}$ = 0 

$\Leftrightarrow$ ($\frac{2}{3}$)$^{2}$ - (5x)$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow$ ($\frac{2}{3}$ - 5x)($\frac{2}{3}$ + 5x) = 0

$\Leftrightarrow$ $\frac{2}{3}$ - 5x = 0 hoặc $\frac{2}{3}$ + 5x = 0

$\Leftrightarrow$ x = $\frac{2}{15}$ hoặc x = -$\frac{2}{15}$.

Vậy x = $\frac{2}{15}$ hoặc x = -$\frac{2}{15}$.

d) x$^{2}$ - x + $\frac{1}{4}$ = 0

$\Leftrightarrow$ x$^{2}$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + ($\frac{1}{2}$)$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow$ (x - $\frac{1}{2}$)$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow$ x - $\frac{1}{2}$ = 0

$\Leftrightarrow$ x = $\frac{1}{2}$

Vậy x = $\frac{1}{2}$.

Câu 3: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1

Tính nhanh giá trị của các biểu thức sau:

a) 17.91,5 + 170.0,85;                              b) 2016$^{2}$ - 16$^{2}$;

c) x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 và y = 2999.

Trả lời:

a) 17.91,5 + 170.0,85 = 17.91,5 + 17.10.0,85 = 17.91,5 + 17.8,5 = 17(91,5 + 8,5) = 17.100 = 1700;

b) 2016$^{2}$ - 16$^{2}$ = (2016 - 16)(2016 + 16) = 2000.2032 = 4064000;

c) x(x - 1) - y(1 - x) = x(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(x + y).

Tại x = 2001 và y = 2999, ta được: (2001 - 1)(2001 + 2999) = 2000.5000 = 10000000.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1

Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

a) (x + 2)$^{2}$ - 2(x + 2)(x - 8) + (x - 8)$^{2}$;                            b) (x + y - z - t)$^{2}$ - (z + t - x - y)$^{2}$.

Trả lời:

a) (x + 2)$^{2}$ - 2(x + 2)(x - 8) + (x - 8)$^{2}$ = [(x + 2) - (x - 8)]$^{2}$ = 10$^{2}$ = 100 không phụ thuộc vào giá trị của biến x và y;

b) (x + y - z - t)$^{2}$ - (z + t - x - y)$^{2}$ = [(x + y - z - t) - (z + t - x - y)][(x + y - z - t) + (z + t - x - y)] = 0 không phụ thuộc vào giá trị của biến x, y, z, t.

Câu 2: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có n$^{3}$ - n luôn chia hết cho 6.

Trả lời:

Có: n$^{3}$ - n = n(n$^{2}$ - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1).n.(n + 1)

Dễ dàng nhận thấy n - 1; n; n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp

Mà tích của 3 số tự nhiêu liên tiếp luôn chia hết cho 2 và 3 

Nên n$^{3}$ - n luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Câu 3: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1

Tìm các cặp số nguyên (x; y) sao cho: x + 3y = xy + 3.

Trả lời:

x + 3y = xy + 3 $\Leftrightarrow$ x + 3y - xy - 3 = 0 $\Leftrightarrow$ x(1 - y) - 3(1 - y) = 0 $\Leftrightarrow$ (x - 3)(1 - y) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 3 hoặc y = 1.