Giải Toán 8 sách VNEN bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp

A. B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Phân tích đa thức x$^{2}$ - 2x + xy - 2y thành nhân tử.

Trả lời:

Cách 1: x$^{2}$ - 2x + xy - 2y = (x$^{2}$ - 2x) + (xy - 2y) = x(x - 2) + y(x - 2) = (x - 2)(x + y).

Cách 2: x$^{2}$ - 2x + xy - 2y = (x$^{2}$ + xy) - (2x + 2y) = x(x + y) - 2(x + y) = (x + y)(x - 2).

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử,nhóm các hạng tử mọt cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hẳng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm.

Chú ý: Đối với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử thích hợp

c) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

x$^{3}$ - 2x$^{2}$ - x + 2;                                  x$^{2}$ + 6x - y$^{2}$ + 9.

Trả lời:

x$^{3}$ - 2x$^{2}$ - x + 2 = x$^{2}$( x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x$^{2}$ - 1);

 x$^{2}$ + 6x - y$^{2}$ + 9 = (x$^{2}$ + 6x + 9) - y$^{2}$ = (x + 3)$^{2}$ - y$^{2}$ = (x + 3 - y)(x + 3 + y).

• Ai đúng?

Khi thảo luận nhóm để phân tích đa thức x$^{4}$ - 6x$^{3}$ + x$^{2}$ - 6x thành nhânt tử:

Bạn Bình làm như sau: x$^{4}$ - 6x$^{3}$ + x$^{2}$ - 6x = x(x$^{3}$ - 6x$^{2}$ + x - 6)

Bạn Minh làm như sau:

x$^{4}$ - 6x$^{3}$ + x$^{2}$ - 6x = (x$^{4}$ - 6x$^{3}$) + (x$^{2}$ - 6x)

                                                     = x$^{3}$(x - 6) + x(x - 6) = (x - 6)(x$^{3}$ + x)

Bạn Mai làm như sau:

x$^{4}$ - 6x$^{3}$ + x$^{2}$ - 6x = (x$^{4}$ + x$^{2}$) - (6x$^{3}$ + 6x) = x$^{2}$(x$^{2}$ + 1) - 6x(x$^{2}$ + 1)

                                                    = (x$^{2}$ + 1)(x$^{2}$ - 6x) = x(x - 6)(x$^{2}$ + 1)

Hãy nêu ý kiến của em về cách làm của các bạn.

Trả lời:

Cách làm của bạn Mai đúng.

Cách làm của bạn Bình và bạn Minh trong các biểu thức cuối cùng vẫn có thể phân tích tiếp.

2. a) Thực hiện các yêu cầu sau:

- Viết tiếp vào chỗ trống theo mẫu để chỉ rõ đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử:

    x$^{2}$ + 3x - 2xy - 3y + y$^{2}$

= (x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$) + (3x - 3y) ( Phương pháp nhóm hạng tử)

= (x - y)$^{2}$ + 3(x - y) (Phương pháp ................. và phương pháp ....................)

= (x - y)(x - y + 3) (Phương pháp ..................)

Trả lời:

    x$^{2}$ + 3x - 2xy - 3y + y$^{2}$

= (x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$) + (3x - 3y) ( Phương pháp nhóm hạng tử)

= (x - y)$^{2}$ + 3(x - y)   (Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức và phương pháp đặt nhân tử chung)

= (x - y)(x - y + 3) (Phương pháp đặt nhân tử chung).

- Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x$^{2}$ - 2x - 3.

Trả lời:

x$^{2}$ - 2x - 3 = x$^{2}$ - 3x + x - 3 = x(x - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x + 1).

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Nhiều khi phải phối hợp nhiều phướng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử. Thông thường, ta xét dến phương pháp đặt nhân tử chung trước tiên, tiếp đó xét xem có thể sử dụng được các hằng đẳng thức đã học hay không. Có thể nhóm hoặc tách các hạng tử, thêm và bớt cùng một hạng tử hay không.

c) Phân tích đa thức 2x$^{3}$y - 2xy$^{3}$ - 4xy$^{2}$ - 2xy thành nhân tử.

Trả lời:

2x$^{3}$y - 2xy$^{3}$ - 4xy$^{2}$ - 2xy = 2xy(x$^{2}$ - y$^{2}$ - 2y - 1) = 2xy[x$^{2}$ - (y$^{2}$ + 2y + 1)]

                                       = 2xy[x$^{2}$ - (y + 1)$^{2}$]      = 2xy(x - y -1)(x + y + 1).

C. Hoạt động luyện tập 

Câu 1: Trang 21 toán VNEN 8 tập 1

a) 2x$^{2}$ - 2xy - 5x + 5y;                         b) 8x$^{2}$ + 4xy - 2ax - ay;

c) x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 4x;                                  d) 2xy - x$^{2}$ - y$^{2}$ + 16;

e) x$^{2}$ - y$^{2}$ - 2yz - z$^{2}$;                            g) 3a$^{2}$ - 6ab + 3b$^{2}$ - 12c$^{2}$.

Trả lời:

a) 2x$^{2}$ - 2xy - 5x + 5y = 2x(x - y) - 5(x - y) = (x - y)(2x - 5);     

b) 8x$^{2}$ + 4xy - 2ax - ay = 4x(2x + y) - a(2x + y) = (2x + y)(4x - a);

c) x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 4x = x(x$^{2}$ - 4x + 4) = x(x - 2)$^{2}$;

d) 2xy - x$^{2}$ - y$^{2}$ + 16 = 16 - (x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$) = 4$^{2}$ - (x - y)$^{2}$ = (4 - x + y)(4 + x - y);

e) x$^{2}$ - y$^{2}$ - 2yz - z$^{2}$ = x$^{2}$ - (y$^{2}$ + 2yz + z$^{2}$) = x$^{2}$ - (y + z)$^{2}$ = (x - y - z)(x + y + z);

g) 3a$^{2}$ - 6ab + 3b$^{2}$ - 12c$^{2}$ = 3(a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$ - 4c$^{2}$) = 3[(a - b)$^{2}$ - (4c)$^{2}$] = 3(a - b - 4c)(a - b + 4c).

Câu 2: Trang 21 toán VNEN 8 tập 1

Tính nhanh:

a) 37,5.8,5 - 7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 1,5.37,5;

b) 35$^{2}$ + 40$^{2}$ - 25$^{2}$ + 80.35.

Trả lời:

a) 37,5.8,5 - 7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 1,5.37,5 = (37,5.8,5 + 1,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5)

                                                                = 37,5(8,5 + 1,5) - 7,5(3,4 + 6,6)

                                                                = 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300;

b) 35$^{2}$ + 40$^{2}$ - 25$^{2}$ + 80.35 = (35$^{2}$ + 2.40.35 + 40$^{2}$) - 25$^{2}$ = (35 + 40)$^{2}$ - 25$^{2}$

                                            = (75 - 25)(75 + 25) = 50.100 = 5000.

Câu 3: Trang 21 toán VNEN 8 tập 1

Tìm x, biết:

a) x$^{3}$ - $\frac{1}{9}$x = 0;                                        b) 2x - 2y - x$^{2}$ + 2xy - y$^{2}$ = 0;

c) x(x - 3) + x - 3 = 0;                              d) x$^{2}$(x - 3) + 27 - 9x = 0.

Trả lời:

a) x$^{3}$ - $\frac{1}{9}$x = 0

$\Leftrightarrow$ x(x$^{2}$ - $\frac{1}{9}$) = 0

$\Leftrightarrow$ x[x$^{2}$ - ($\frac{1}{3}$)$^{2}$] = 0

$\Leftrightarrow$ x(x - $\frac{1}{3}$)(x + $\frac{1}{3}$) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x - $\frac{1}{3}$ = 0 hoặc x + $\frac{1}{3}$ = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = $\frac{1}{3}$ hoặc x = -$\frac{1}{3}$.

Vậy x = 0 hoặc x = $\frac{1}{3}$ hoặc x = -$\frac{1}{3}$.

b) 2x - 2y - x$^{2}$ + 2xy - y$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow$ 2(x - y) - (x - y)$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow$ (x - y)(2 - x + y) = 0

$\Leftrightarrow$ x - y = 0 hoặc 2 - x + y = 0

$\Leftrightarrow$ x = y hoặc x = 2 + y.

Vậy x = y hoặc x = 2 + y.

c) x(x - 3) + x - 3 = 0

$\Leftrightarrow$ (x - 3)(x + 1) = 0

$\Leftrightarrow$ x - 3 = 0 hoặc x + 1 = 0

$\Leftrightarrow$ x = 3 hoặc x = -1.

Vậy x = 3 hoặc x = -1.

d) x$^{2}$(x - 3) + 27 - 9x = 0

$\Leftrightarrow$ x$^{2}$(x - 3) - 9(x - 3) = 0

$\Leftrightarrow$ (x - 3)(x$^{2}$ - 9) = 0

$\Leftrightarrow$ (x - 3)(x - 3)(x + 3) = 0

$\Leftrightarrow$ x - 3 = 0 hoặc x + 3 = 0

$\Leftrightarrow$ x = 3 hoặc x = -3.

Vậy x = 3 hoặc x = -3.

Câu 4: Trang 22 toán VNEN 8 tập 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x$^{2}$ - 4x + 3;                                 b) x$^{2}$ + x - 6;

c) x$^{2}$ - 5x + 6;                                 d) x$^{4}$ + 4.

Trả lời:

a) x$^{2}$ - 4x + 3 = x$^{2}$ - x - 3x + 3 = x( x - 1) - 3(x - 1) = (x - 3)(x - 1); 

b) x$^{2}$ + x - 6 = x$^{2}$ - 2x + 3x - 6 = x(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 3);

c) x$^{2}$ - 5x + 6 = x$^{2}$ - 2x - 3x + 6 = x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x - 3);   

d) x$^{4}$ + 4 = x$^{4}$ + 4x$^{2}$ - 4x$^{2}$ + 4 = x$^{4}$ + 4x$^{2}$ + 4 - 4x$^{2}$ = (x$^{4}$ + 4x$^{2}$ + 4) - 4x$^{2}$

               = (x$^{2}$ + 2)$^{2}$ - (2x)$^{2}$ = (x$^{2}$ + 2 + 2x)(x$^{2}$ + 2 - 2x).

D. Hoạt động vận dụng

Câu 1: Trang 22 toán VNEN 8 tập 1

Chứng minh rằng: (3n + 4)$^{2}$ - 16 chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

Trả lời:

Có: (3n + 4)$^{2}$ - 16 = (3n + 4)$^{2}$ - 4$^{2}$ = (3n + 4 - 4)(3n + 4 + 4) = 3n(3n + 8) luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

Vậy (3n + 4)$^{2}$ - 16 luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

Câu 2: Trang 22 toán VNEN 8 tập 1

Tính nhanh giá trị của biểu thức sau:

M = a$^{3}$ - a$^{2}$b - ab$^{2}$ + b$^{3}$ với a = 5,75; b = 4,25.

Trả lời:

M = a$^{3}$ - a$^{2}$b - ab$^{2}$ + b$^{3}$

    = (a$^{3}$ + b$^{3}$) - (a$^{2}$b + ab$^{2}$)

    = (a + b)(a$^{2}$ - ab + b$^{2}$) - ab(a + b)

    = (a + b)(a$^{2}$ - ab + b$^{2}$ - ab)

    = (a + b)(a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$)

    = (a + b)(a - b)$^{2}$.

Thay a = 5,75 và b = 4,25 vào M, ta được:

M = (5,75 + 4,25)(5,75 - 4,25)$^{2}$ = 22,5.

Câu 3: Trang 22 toán VNEN 8 tập 1

Tìm x, biết:

a) x$^{2}$ + x = 6;                           b) 6x$^{3}$ + x$^{2}$ = 2x.

Trả lời:

a) x$^{2}$ + x = 6 

$\Leftrightarrow$ x$^{2}$ + x - 6 = 0

$\Leftrightarrow$ x$^{2}$ - 2x + 3x - 6 = 0

$\Leftrightarrow$ x(x - 2) + 3(x - 2) = 0

$\Leftrightarrow$ (x - 2)(x + 3) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 2 hoặc x = -3.

Vậy x = 2 hoặc x = -3.

b) 6x$^{3}$ + x$^{2}$ = 2x

$\Leftrightarrow$ 6x$^{3}$ + x$^{2}$ - 2x = 0

$\Leftrightarrow$ x(6x$^{2}$ + x - 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x(6x$^{2}$ - 3x + 4x - 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x[3x(2x - 1) + 2(2x - 1)] = 0

$\Leftrightarrow$ x(3x + 2)(2x - 1) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = -$\frac{2}{3}$ hoặc x = $\frac{1}{2}$.

Vậy x = 0 hoặc x = -$\frac{2}{3}$ hoặc x = $\frac{1}{2}$.