Giải Toán 8 sách VNEN bài 3: Rút gọn phân thức

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

1. Điền số thích hợp vào ô trống (....) và nêu cách làm

$\frac{3}{5}=\frac{21}{....}$;             $\frac{7}{9}=\frac{....}{54}$;

$\frac{32}{48}=\frac{....}{6}$;           $\frac{-36}{60}=\frac{-6}{....}$

Trả lời:

$\frac{3}{5}=\frac{3.7}{5.7}=\frac{21}{35}$;

$\frac{7}{9}=\frac{7.6}{9.6}\frac{42}{54}$;

$\frac{32}{48}=\frac{32:8}{48:8}=\frac{4}{6}$;

$\frac{-36}{60}=\frac{-36:6}{60:6}=\frac{-6}{10}$

2. Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu của mỗi phân thức

Trả lời:

B. HOẠT DỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Cho phân thức $\frac{4x^{3}}{10x^{2}y}$

- Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

- So sánh hệ số và số mũ của mỗi biến trong phân thức tìm được so với hệ số và số mũ tương ứng của mỗi biến trong phân thức đã cho.

Trả lời:

- Nhân tử chung của cả tử và mẫu là: 2x$^{2}$

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung:

$\frac{4x^{3}}{10x^{2}y}$ = $\frac{4x^{3}:(2x^{2})}{10x^{2}y:(2x^{2})}=\frac{2x}{5y}$

- So sánh: Hệ số và số mũ của phân thức tìm được nhỏ hơn hệ số và số mũ tương ứng của mỗi biến trong phân thức đã cho

b) Cho phân thức $\frac{5x+10}{25x^{2}+50x}$

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

- Nêu các bước cần làm để rút gọc phân thức.

Trả lời:

- Phân tích thành nhân tử: $\frac{5x+10}{25x^{2}+50x}$ = $\frac{5(x+2)}{25x(x+2)}$ => Nhân tử chung là 5.(x + 2)

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung được: $\frac{1}{5x}$

- Các bước rút gọn phân thức:

+ Bưóc 1: Phân tích cả tử và mẫu của phân thức thành nhân tử chung

+ Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

2. a) Đọc kĩ nội dung sau

Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:

• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung của chúng.
• Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

b) Rút gọn các phân thức sau

$\frac{8xy}{32y}$;    $\frac{4x+10}{2x^{2}+5x}$;    $\frac{3x-6}{4-x^{2}}$

Trả lời:

$\frac{8xy}{32y}$=$\frac{8y.x}{8y.4}$=$\frac{x}{4}$

$\frac{4x+10}{2x^{2}+5x}$=$\frac{2.(2x+5)}{x.(2x+5)}$=$\frac{2}{x}$

$\frac{3(x-2)}{(2-x)(2+x)}=\frac{-3}{2+x}$

* Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý: A = -(-A))

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1. Trang 40 sách VNEN toán 8 tập 1 

Rút gọn phân thức:

a)$\frac{18ab}{27bc}$          b) $\frac{-21b^{2}y^{2}}{-28by}$     c) $\frac{-49a^{3}}{14b^{3}}$      d) $\frac{12x^{3}y^{2}}{18xy^{5}}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:

Giải câu a: $\frac{18ab}{27bc}$=$\frac{2a.9b}{3c.9b}$=$\frac{2a}{3c}$

Giải câu b: $\frac{-21b^{2}y^{2}}{-28by}$=$\frac{3by.(-7by)}{4.(-7by)}$=$\frac{3by}{4}$

Giải câu c: $\frac{-49a^{3}}{14b^{3}}$=$\frac{-7a^{3}.7}{7.2b^{3}}$=$\frac{-7a^{3}}{2b^{3}}$

Giải câu d: $\frac{12x^{3}y^{2}}{18xy^{5}}$=$\frac{6xy^{2}.2x^{2}}{6xy^{2}.3y^{3}}$=$\frac{2x^{2}}{3y^{3}}$

Câu 2: Trang 40 sách VNEN toán 8 tập 1

Rút gọn phân thức: 

a) $\frac{a^{3}(a-5)}{a-5}$     b) $\frac{3(b+7)^{4}}{8(b+7)^{6}}$    c)$\frac{15x(x+5)^{2}}{20x^{2}(x+5)}$     d) $\frac{x^{3}-4x^{2}}{y(x-4)}$   e) $\frac{5(a-2c)^{2}}{2a^{2}-4ac}$

Trả lời:

Giải câu a: $\frac{a^{3}(a-5)}{a-5}$=$a^{3}$

Giải câu b: $\frac{3(b+7)^{4}}{8(b+7)^{6}}$=$\frac{3(b+7)^{4}}{8(b+7)^{2}(b+7)^{4}}$=$\frac{3}{8(b+7)^{2}}$

Giải câu c: $\frac{15x(x+5)^{2}}{20x^{2}(x+5)}$=$\frac{3(x+5).5x(x+5)}{4x.5x(x+5)}$=$\frac{3(x+5)}{4x}$

Giải câu d: $\frac{x^{3}-4x^{2}}{y(x-4)}$=$\frac{x^{2}(x-4)}{y(x-4)}$=$\frac{x^{2}}{y}$

Giải câu e: $\frac{5(a-2c)^{2}}{2a^{2}-4ac}$=$\frac{5(a-2c)^{2}}{2a(a-2c)}$=$\frac{5(a-2c)(a-2c)}{2a(a-2c)}$=$\frac{5(a-2c)}{2a}$

Câu 3: Trang 41 sách VNEN toán 8 tập 1

Rút gọn phân thức:

a) $\frac{ax-3a}{bx-3b}$   b) $\frac{5x+20y}{15x+60y}$   c) $\frac{3b-9c}{5b^{2}-15bc}$    d) $\frac{8a^{2}+40ab}{ab+5b^{2}}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:

Giải câu a: $\frac{ax-3a}{bx-3b}$=$\frac{a(x-3)}{b(x-3)}$=$\frac{a}{b}$

Giải câu b: $\frac{5x+20y}{15x+60y}$=$\frac{1.(5x+20y)}{3.(5x+20y)}$=$\frac{1}{3}$

Giải câu c: $\frac{3b-9c}{5b^{2}-15bc}$=$\frac{3(b-3c)}{5b.(b-3c)}$=$\frac{3}{5b}$

Giải câu d: $\frac{8a^{2}+40ab}{ab+5b^{2}}$=$\frac{8a.(a+5b)}{b.(a+5b)}$=$\frac{8a}{b}$

Câu 4: Trang 41 sách VNEN toán 8 tập 1 

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức:

a) $\frac{3x^{2}-12x+12}{x^{4}-8x}$   b) $\frac{7x^{2}+14x+7}{3x^{2}+3x}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:

Giải câu a: Ta có:

$\frac{3x^{2}-12x+12}{x^{4}-8x}$=$\frac{3(x^{2}-4x+4)}{x(x^{3}-8)}$=$\frac{3.(x-2)^{2}}{x(x-2)(x^{2}+2x+4)}$=$\frac{3(x-2)}{x(x^{2}+2x+4)}$

Giải câu b: Ta có: $\frac{7x^{2}+14x+7}{3x^{2}+3x}$=$\frac{7(x^{2}+2x+1)}{3x(x+1)}$=$\frac{7(x+1)^{2})}{3x(x+1)}$=$\frac{7(x+1)}{3x}$

Câu 5: Trang 41 sách VNEN toán 8 tập 1

Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:

a) $\frac{45x(3-x)}{15(x-3)^{3}}$    b)$\frac{36(x-2)^{3}}{32-16x}$      c)$\frac{x^{2}-xy}{5y^{2}-5xy}$    d)$\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}$

Trả lời:

Giải câu a:

$\frac{45x(3-x)}{15(x-3)^{3}}=\frac{3x.15(3-x)}{-(x-3)^{2}.15(3-x)}=\frac{3x}{-(x-3)^{2}}$

Giải câu b:

$\frac{36(x-2)^{3}}{32-16x}$=$\frac{-9(x-2)^{2}.4(2-x)}{4.4(2-x)}$=$\frac{-9(x-2)^{2}}{4}$

Giải câu c:

$\frac{x^{2}-xy}{5y^{2}-5xy}$=$\frac{x(x-y)}{-5y(x-y)}$=$\frac{x}{-5y}$

Giải câu d:

$\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}$=$\frac{-(x-y)(x+y)}{(x-y)^{3}}$=$\frac{-(x+y)}{(x-y)^{2}}$

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG VÀ TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 41 sách VNEN toán 8 tập 1

Rút gọn phân thức: $\frac{x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}-1}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải: 

Ta có: $\frac{x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}-1}$=$\frac{x^{6}(x+1)+x^{4}(x+1)+x^{2}(x+1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

=$\frac{(x+1)(x^{6}+x^{4}+x^{2})}{(x+1)(x-1)}$=$\frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}}{x-1}$

Câu 2 trang 41  sách VNEN toán 8 tập 1

Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi và rút gọn phân thức sau:

$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy+2xz-2yz}{x^{2}-2xy+y^{2}-z^{2}}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:

$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy+2xz-2yz}{x^{2}-2xy+y^{2}-z^{2}}$=$\frac{(x^{2}-2xy+y^{2})+2z^{2}-z^{2}+2xz-2yz}{(x-y)^{2}-z^{2}}$

=$\frac{(x-y)^{2}-z^{2}+2z(x-y+z)}{(x-y+z)(x-y-z)}$=$\frac{(x-y+z)(x-y-z)+2z(x-y+z)}{(x-y+z)(x-y-z)}$

=$\frac{(x-y+z)(x-y-z+2z)}{(x-y+z)(x-y-z)}$=$\frac{x-y+z}{x-y-z}$

Gợi ý: Hằng đằng thức được áp dụng:

$(a-b)^{2}$=$a^{2}-2ab+b^{2}$

$a^{2}-b^{2}$=(a-b)(a+b)

Chứng minh: $\frac{2x^{2}+3xy+y^{2}}{2x^{3}+x^{2}y-2xy^{2}-y^{3}}$=$\frac{1}{x-y}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{2x^{2}+3xy+y^{2}}{2x^{3}+x^{2}y-2xy^{2}-y^{3}}$=$\frac{2x^{2}+2xy+xy+y^{2}}{2x^{3}-2xy^{2}+x^{2}y-y^{3}}$

=$\frac{2x(x+y)+y(x+y)}{2x(x^{2}-y^{2})+y(x^{2}-y^{2})}$=$\frac{(2x+y)(x+y)}{(2x+y)(x^{2}-y^{2})}$

=$\frac{(2x+y)(x+y)}{(2x+y)(x+y)(x-y)}$=$\frac{1}{x-y}$

Vậy sau khi rút gọn phân thức ta thu được $\frac{2x^{2}+3xy+y^{2}}{2x^{3}+x^{2}y-2xy^{2}-y^{3}}$=$\frac{1}{x-y}$ (điều phải chứng minh)