Giải Toán 8 sách VNEN bài 4:Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

A. B. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG VÀ HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Thực hiện các hoạt động sau

• Trả lời câu hỏi: Để cộng và trừ phân số có mẫu khác nhau trước hết ta phải làm gì?
• Cho hai phân thức $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{x-y}$

Hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức biến đổi chúng thành hai phân thức có cùng mẫu.

Trả lời:

• Để cộng và trừ phân số có mẫu khác nhau trước hết ta phải quy đồng mẫu số các phân số
• $\frac{1}{x}$ = $\frac{1(x-y)}{x.(x-y)}$ = $\frac{x-y}{x.(x-y)}$

          $\frac{1}{x-y}$ = $\frac{1.x}{(x-y).x}$ = $\frac{x}{x.(x-y)}$

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là lần lượt biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức bằng các phân thức đã cho.
• Mẫu thức chung (MTC) là một tích chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

c) Tìm mẫu thức chung của hai phân thức:

$\frac{1}{3x^{2}-xy}$ và $\frac{1}{y^{2}-3xy}$

Trả lời:

$\frac{1}{3x^{2}-xy}$ = $\frac{1}{x(3x-y)}$

$\frac{1}{y^{2}-3xy}$ = $\frac{1}{y(y-3x)}$

=> Mẫu thức chung: xy(3x - y) hoặc xy(y - 3x)

2. a) Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

$\frac{1}{3x^{2}-xy}$ và $\frac{1}{y^{2}-3xy}$

Trả lời:

Mẫu thức chung: xy(3x - y)

+ $\frac{1}{3x^{2}-xy}$ = $\frac{1}{x(3x-y)}$ = $\frac{1.y}{x.y.(3x-y)}$ = $\frac{y}{xy(3x-y)}$

+ $\frac{1}{y^{2}-3xy}$ = $\frac{1}{y(y-3x)}$ = $\frac{1.(-x)}{yy(3x-y)}$ = $\frac{-x}{yy(3x-y)}$

b) Đọc kĩ nội dung sau

Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung (MTC)
• Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức (bằng cách chia mẫu thức chung cho từng mẫu thức)
• Nhân cả tử và mẫu cả mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

c) Quy đồng mẫu thức

$\frac{3}{x^{2}-5x}$ và $\frac{-5}{10-2x}$

Trả lời:

$\frac{3}{x^{2}-5x}$=$\frac{3}{x(x-5)}$

 Và $\frac{-5}{10-2x}$=$\frac{-5}{2(5-x)}$=$\frac{5}{2(x-5)}$

MTC là $2x(x-5)$

Suy ra: $\frac{3}{x^{2}-5x}=\frac{6}{2x(x-5)}$

$\frac{-5}{10-2x}=\frac{5x}{2x(x-5)}$

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức của các phân thức:

a) $\frac{5}{x^{5}y^{3}}$; $\frac{7}{12x^{3}y^{4}}$

b) $\frac{4}{15x^{3}y^{5}}$; $\frac{11}{12x^{4}y^{2}}$

Trả lời:

a)  $\frac{5}{x^{5}y^{3}}$; $\frac{7}{12x^{3}y^{4}}$

Ta có: $\frac{5}{x^{5}y^{3}}=\frac{5}{x^{2}y.x^{3}y^{3}}$

$\frac{7}{12x^{3}y^{4}}=\frac{7}{12y.x^{3}y^{3}}$

MTC là $12x^{5}y^{4}$

Suy ra: $\frac{5}{x^{5}y^{3}}=\frac{5.12y}{12x^{5}y^{4}}=\frac{60y}{12x^{5}y^{4}}$

$\frac{7}{12x^{3}y^{4}}=\frac{7}{12y.x^{3}y^{3}}=\frac{7x^{2}}{12x^{5}y^{4}}$

b) $\frac{4}{15x^{3}y^{5}}$; $\frac{11}{12x^{4}y^{2}}$

Ta có: 

$\frac{4}{15x^{3}y^{5}}=\frac{4}{3x^{3}y^{2}.5y^{3}}$

$\frac{11}{12x^{4}y^{2}}=\frac{11}{3x^{3}y^{2}.4x}$

MTC là $3x^{3}y^{2}.20xy^{3}=60x^{4}y^{5}$

Suy ra: 

$\frac{4}{15x^{3}y^{5}}=\frac{16x}{60x^{4}y^{5}}$

$\frac{11}{12x^{4}y^{2}}=\frac{55y^{3}}{60x^{4}y^{5}}$

Câu 2: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

a) $\frac{5}{2x+6}$;$\frac{3}{x^{2}-9}$

b) $\frac{2x}{x^{2}-8x+16}$; $\frac{x}{3x^{2}-12x}$

Trả lời:

Giải câu a: $\frac{5}{2x+6}$; $\frac{3}{x^{2}-9}$

Ta có:

$\frac{5}{2x+6}$=$\frac{5}{2(x+3)}$

$\frac{3}{x^{2}-9}$=$\frac{3}{(x+3)(x-3)}$

MTC là  $2(x-3)(x+3)$

Suy ra:

$\frac{5}{2x+6}$=$\frac{5(x-3)}{2(x+3)(x-3)}$

$\frac{3}{x^{2}-9}$=$\frac{6}{2(x-3)(x+3)}$

Giải câu b: $\frac{2x}{x^{2}-8x+16}$;    $\frac{x}{3x^{2}-12x}$

Ta có: 

$\frac{2x}{x^{2}-8x+16}$=$\frac{2x}{(x-4)^{2}}$

$\frac{x}{3x^{2}-12x}$=$\frac{x}{3x(x-4)}$

MTC là: $3x(x-4)^{2}$

Suy ra: $\frac{2x}{x^{2}-8x+16}$=$\frac{6x^{2}}{3x(x-4)^{2}}$

$\frac{x}{3x^{2}-12x}$=$\frac{x(x-4)}{3x(x-4)^{2}}$

Câu 3: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

a)$\frac{x+y}{x}$;   $\frac{x}{x-y}$

b) $\frac{2}{x^{2}+2xy}$; $\frac{1}{xy+2y^{2}}$

Trả lời:

Giải câu a: $\frac{x+y}{x}$;   $\frac{x}{x-y}$

Ta có: MTC: $x(x-y)$

$\frac{x+y}{x}=\frac{(x+y)(x-y)}{x(x-y)}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x(x-y)}$

$\frac{x}{x-y}=\frac{x.x}{(x-y)x}=\frac{x^{2}}{x(x-y)}$

 Giải câu b: $\frac{2}{x^{2}+2xy}$; $\frac{1}{xy+2y^{2}}$

Ta có: 

$\frac{2}{x^{2}+2xy}=\frac{2}{x(x+2y)}$

$\frac{1}{xy+2y^{2}}=\frac{1}{y(x+2y)}$

MTC là $xy(x+2y)$

Suy ra: 

$\frac{2}{x^{2}+2xy}=\frac{2y}{xy(x+2y)}$

$\frac{1}{xy+2y^{2}}=\frac{x}{xy(x+2y)}$

Câu 4: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

a) $\frac{1}{x+2}$; $\frac{x}{x-y}$

b) $x^{2}+1$; $\frac{x^{4}}{x^{2}-1}$

c) $\frac{x^{3}}{x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}$; $\frac{x}{y^{2}-xy}$

Trả lời:

Giải câu a:  $\frac{1}{x+2}$; $\frac{x}{x-y}$

Ta có MTC là $(x+2)(x-y)$

Suy ra:

$\frac{1}{x+2}=\frac{x-y}{(x+2)(x-y)}$

$\frac{x}{x-y}=\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-y)}$

Giải câu b: $x^{2}+1$; $\frac{x^{4}}{x^{2}-1}$

MTC là $x^{2}-1$

Suy ra: $x^{2}+1=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x^{2}-1}$=$\frac{(x^{4}-1)}{x^{2}-1}$

$\frac{x^{4}}{x^{2}-1}$=$\frac{x^{4}}{x^{2}-1}$

Giải câu c: $\frac{x^{3}}{x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}$; $\frac{x}{y^{2}-xy}$

Ta có: $\frac{x^{3}}{x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}=\frac{x^{3}}{(x-y)^{3}}$

$\frac{x}{y^{2}-xy}=\frac{x}{y(y-x)}=\frac{x}{-y(x-y)}$

MTC là $-y(x-y)^{3}$

Suy ra: $\frac{x^{3}}{x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}=\frac{-yx^{3}}{-y(x-y)^{3}}$

$\frac{x}{y^{2}-xy}=\frac{x(x-y)^{2}}{-y(x-y)^{3}}$

Câu 5: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn)

a) $\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{3}-1}$; $\frac{1-2x}{x^{2}+x+1}$; -2

b) $\frac{10}{x+2}$; $\frac{5}{2x-4}$; $\frac{1}{6-3x}$

Trả lời:

Giải câu a: $\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{3}-1}$; $\frac{1-2x}{x^{2}+x+1}$; -2

Ta có: $\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{3}-1}$=$\frac{4x^{2}-3x+5}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

MTC là $(x-1)(x^{2}+x+1)$=$x^{3}-1$

Suy ra: $\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{3}-1}=\frac{4x^{2}-3x+5}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$\

$\frac{1-2x}{x^{2}+x+1}$=$\frac{(1-2x)(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$=$\frac{-2x^{2}+3x-1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$-2$=$\frac{-2.(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$=$\frac{-2x^{3}+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Giải câu b: $\frac{10}{x+2}$; $\frac{5}{2x-4}$; $\frac{1}{6-3x}$

Ta có: $\frac{5}{2x-4}=\frac{5}{2(x-2)}$

$ \frac{1}{6-3x}=\frac{-1}{3(x-2)}$

MTC là $(x-2)(x+2).6=6(x^{2}-4)$

Suy ra: $\frac{10}{x+2}=\frac{10.6(x-2)}{6(x^{2}-4)}=\frac{60(x-2)}{6(x^{2}-4)}$

$\frac{5}{2x-4}=\frac{5}{2(x-2)}=\frac{5.(x+2)}{6(x^{2}-4)}$

 $\frac{1}{6-3x}=\frac{-1}{3(x-2)}=\frac{-1.6(x+2)}{6(x^{2}-4)}=\frac{-6(x+2)}{6(x^{2}-4)}$

D. E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG VÀ TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

Đố: Cho hai phân thức:

$\frac{5x^{2}}{x^{3}-6x^{2}}$; $\frac{3x^{2}+18x}{x^{2}-36}$

Khi quy đồng mẫu thức bạn Tuấn đã chọn MTC = $x^{2}(x-6)(x+6)$; còn  bạn Lan bảo rằng:" Quá đơn giản! MTC = $x-6$ ". Nhận xét cách làm của hai bạn.

Trả lời:

$\frac{5x^{2}}{x^{3}-6x^{2}}$; $\frac{3x^{2}+18x}{x^{2}-36}$

Đối với cách làm của bạn  Tuấn đã chọn MTC = $x^{2}(x-6)(x+6)$

Ta có: $frac{5x^{2}}{x^{3}-6x^{2}}=\frac{5x^{2}}{x^{2}(x-6)}$

$\frac{3x^{2}+18x}{x^{2}-36}=\frac{3x^{2}+18x}{(x-6)(x+6)}$

Từ đây Tuấn suy ra MTC là  $x^{2}(x-6)(x+6)$

Đối với cách làm của bạn Lan đã chon MTC = $x-6$

Lan đã rút gọn phân thức trước khi tìm MTC cụ thể:

$\frac{5x^{2}}{x^{3}-6x^{2}}=\frac{5x^{2}}{x^{2}(x-6)}=\frac{5}{x-6}$

$\frac{3x^{2}+18x}{x^{2}-36}=\frac{3x^{2}+18x}{(x-6)(x+6)}=\frac{3x(x+6)}{(x-6)(x+6)}=\frac{3x}{x-6}$

Nhìn vào biểu thức Lan đã suy ra MTC là $x-6$

Nhận xét: Thật ra mỗi bạn đều có cách lý giải khác nhau để tìm ra đáp án cho câu hỏi tuy nhiên khi giải các bài toán về phân thức cần tinh ý nhận ra để tối giản những phép tính và tìm ra kết quả nhanh nhất chứ không nhất thiết phải áp dụng một cách máy móc. Lan đã rất tinh ý khi nhận ra có thể tối giản phân thức và đưa nó về một phân thức đơn giản nhất.

Câu 2: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

Cho hai phân thức: $\frac{1}{x^{2}+3x-10}$;  $\frac{x}{x^{2}+7x+10}$

Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là:

$x^{3}+5x^{2}-4x-20$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:

Để chứng tỏ $x^{3}+5x^{2}-4x-20$ là MTC của $\frac{1}{x^{2}+3x-10}$;  $\frac{x}{x^{2}+7x+10}$ tức là  $x^{3}+5x^{2}-4x-20$ chia hết cho mẫu thức của phân thức:

$x^{2}+3x-10$; $x^{2}+7x+10$

Thật vậy ta có: $x^{3}+5x^{2}-4x-20$=$(x^{2}+3x-10)(x+2)$=$(x^{2}+7x+10)(x-2)$

Nên MTC = $x^{3}+5x^{2}-4x-20$

$\frac{1}{x^{2}+3x-10}=\frac{x+2}{(x+2)(x^{2}+3x-10)}=\frac{x+2}{x^{3}+5x^{2}-4x-20}$

$\frac{x}{x^{2}+7x+10}=\frac{x(x-2)}{(x-2)(x^{2}+7x+10)}=\frac{x^{2}-2x}{x^{3}+5x^{2}-4x-20}$

Câu 3: Trang 43 sách VNEN toán 8 tập 1

a) $\frac{x-1}{x^{3}+1}$; $\frac{2x}{x^{2}-x+1}$; $\frac{2}{x+1}$

b) $\frac{x+y}{x(y-z)^{2}}$; $\frac{y}{x^{2}(y-z)^{2}}$;  $\frac{z}{x^{2}}$

Trả lời:

a) $\frac{x-1}{x^{3}+1}$ ; $\frac{2x}{x^{2}-x+1}$; $\frac{2}{x+1}$

Ta có: $\frac{x-1}{x^{3}+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

MTC là $(x+1)(x^{2}-x+1)$

Suy ra: $\frac{x-1}{x^{3}+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$\frac{2x}{x^{2}-x+1}=\frac{2x(x+1)}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$\frac{2}{x+1}=\frac{2(x^{2}-x+1)}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

b) $\frac{x+y}{x(y-z)^{2}}$; $\frac{y}{x^{2}(y-z)^{2}}$;  $\frac{z}{x^{2}}$

Ta có: MTC là $x^{2}(y-z)^{2}$

Suy ra: $\frac{x+y}{x(y-z)^{2}}=\frac{(x+y)x}{x^{2}(y-z)^{2}}$

$\frac{y}{x^{2}(y-z)^{2}}$

$\frac{z}{x^{2}}=\frac{z(y-z)^{2}}{x^{2}(y-z)^{2}}$