Giải Toán 8 sách VNEN bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 57 toán VNEN 8 tập 1

Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

a) $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$;                                b) $\frac{1 - \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 1}}$.

Trả lời:

a) $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ = (1 + $\frac{1}{x}$) : (1 - $\frac{1}{x}$) = $\frac{x + 1}{x}$ : $\frac{x - 1}{x}$ = $\frac{x + 1}{x}$.$\frac{x}{x - 1}$ = $\frac{x + 1}{x - 1}$;

b) $\frac{1 - \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 1}}$ = (1 - $\frac{2}{x + 1}$) : (1 - $\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 1}$) = $\frac{x - 1}{x + 1}$ : $\frac{1}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x - 1}{x + 1}$.$\frac{(x + 1)(x - 1)}{1}$ = $\frac{(x - 1)^{2}}{1}$ = (x - 1)$^{2}$.

Câu 2: Trang 58 toán VNEN 8 tập 1

Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau được xác định

a) $\frac{5x}{2x + 4}$;                                         b) $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$.

Trả lời:

a) Phân thức $\frac{5x}{2x + 4}$ được xác định khi 2x + 4 $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ -2; 

b) Phân thức $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ được xác định khi x$^{2}$ - 1 $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ (x - 1)(x + 1) $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ 1 và x $\neq$ -1.

Câu 3: Trang 58 toán VNEN 8 tập 1

Cho phân thức $\frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 2}$.

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức.

c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1.

d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không?

Trả lời:

a) Phân thức $\frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 2}$ được xác định khi x + 2 $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ -2.

b) $\frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 2}$ = $\frac{(x + 2)^{2}}{x + 2}$ = x + 2.

c) Có: x + 2 = 1 $\Leftrightarrow$ x = -1

Vậy với x = -1 thì giá trị của phân thức bằng 1.

d) Có: x + 2 = 0 $\Leftrightarrow$ x = -2

Mà để phân thức $\frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 2}$ được xác định thì x $\neq$ -2

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0.

Câu 4: Trang 58 toán VNEN 8 tập 1

Đố: Đố em tìm được một phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2.

Trả lời:

Các ước của 2 là: 1; −1; 2; −2. Do đó, mẫu của phân thức cần tìm là:

(x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2) $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ $\pm$1, $\pm$2.

Vậy có thể chọn phân thức $\frac{1}{(x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2)}$.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 58 toán VNEN 8 tập 1

Thực hiện phép tính

a) ($\frac{x}{x + 1}$ + 1) : (1 - $\frac{3x^{2}}{1 - x^{2}}$);                         b) (x$^{2}$ - 1)($\frac{1}{1 - x}$ - $\frac{1}{1 + x}$ - 1). 

Trả lời:

a) ($\frac{x}{x + 1}$ + 1) : (1 - $\frac{3x^{2}}{1 - x^{2}}$) = $\frac{2x + 1}{x + 1}$ : $\frac{1 - 4x^{2}}{1 - x^{2}}$ = $\frac{2x + 1}{x + 1}$.$\frac{(x + 1)(x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)}$ = $\frac{x - 1}{2x - 1}$;

b) (x$^{2}$ - 1)($\frac{1}{1 - x}$ - $\frac{1}{1 + x}$ - 1) = (x$^{2}$ - 1)$\frac{1 + x - (1 - x) - (1 - x)(1 + x)}{(1 - x)(1 + x)}$ = (x$^{2}$ - 1)$\frac{2x - 1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

                                        = (x$^{2}$ - 1)$\frac{-(x^{2} + 2x - 1)}{x^{2} - 1}$ = -x$^{2}$ - 2x + 1. 

Câu 2: Trang 58 toán VNEN 8 tập 1

Chứng tỏ rằng với x $\neq$ 0 và x $\neq$ $\pm$a (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức (a - $\frac{x^{2} + a^{2}}{x + a}$).($\frac{2a}{x}$ - $\frac{4a}{x - a}$) là một số chẵn.

Trả lời:

Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định là: x $\neq$ 0 và x $\neq$ $\pm$a (a là một số nguyên).

Có: (a - $\frac{x^{2} + a^{2}}{x + a}$).($\frac{2a}{x}$ - $\frac{4a}{x - a}$) = $\frac{xa - x^{2}}{x + a}$.$\frac{2ax - 2a^{2} - 4ax}{x(x - a)}$ = $\frac{-x(x - a)}{x + a}$.$\frac{-2a(a + x)}{x(x - a)}$ = 2a. 

Vì a là số nguyên nên 2a là số chẵn.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.

Câu 3: Trang 58 toán VNEN 8 tập 1

Cho phân thức $\frac{3x^{2} + 6x + 12}{x^{3} - 8}$.

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức trên.

c) Em có biết trên 1cm$^{2}$ bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không? Tính giá trị của biểu thức đã cho tại x = $\frac{4001}{2000}$ em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ.

Trả lời:

a) Phân thức $\frac{3x^{2} + 6x + 12}{x^{3} - 8}$ được xác định khi x$^{3}$ - 8 $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ (x - 2)(x$^{2}$ + 2x + 4) $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ 2.

b) $\frac{3x^{2} + 6x + 12}{x^{3} - 8}$ = $\frac{3(x^{2} + 2x + 4)}{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}$ = $\frac{3}{x - 2}$.

c) Tại x = $\frac{4001}{2000}$, ta tính được giá trị của biểu thức bằng: $\frac{3}{\frac{4001}{2000} - 2}$ = 3 : ($\frac{4001}{2000}$ - 2) = 3 : $\frac{1}{2000}$ = 6000.

Như vậy, trên 1cm$^{2}$ bề mặt da người có 6000 con vi khuẩn.