Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Ta có, A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β). Suy ra A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

Hay A, B, C thẳng hàng

Khám phá 7: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC (Hình 17). Tính tỉ số $\frac{MN}{BC}$.

Hướng dẫn trả lời:

$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$

Vận dụng 1: Tại sao muốn đóng mở cánh cửa được êm thì các điểm gán bản lề A, B, C (Hình 19) phải cùng nằm trên một đường thẳng?

Hướng dẫn trả lời:

Các điểm trên bản lề phải nằm trên một đường thẳng để mặt phẳng cánh cửa tiếp xúc với mặt phẳng tường qua 1 đường thẳng. Khi đó, cánh cửa đóng mở được êm hơn

3. Cách xác định mặt phẳng

Khám phá 8: Cho đường thẳng a và điểm A không nằm trên a. Trên a lấy hai điểm phân biệt B, C. Đường thẳng a có nằm trong (ABC) không? Giải thích

Hướng dẫn trả lời:

Ta có mặt phẳng (ABC) duy nhất đi qua 3 điểm A, B, C và đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng đó.

Suy ra đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (ABC)

Khám phá 9: Hai đường thẳng phân biệt a và b cắt nhau tại O. Trên a,b lấy lần lượt hai điểm M, N khác O. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, O (Hình 25). Mặt phẳng (P) có chứa cả hai đường thẳng a và b không? Giải thích.

Hướng dẫn trả lời:

Với đường thẳng a và điểm N không thuộc a, ta xác định được duy nhất mặt phẳng (P) chứa a và N

Với đường thẳng b và điểm M không thuộc b, ta xác định được duy nhất mặt phẳng (P) chứa b và M

Suy ra mặt phẳng đi qua 3 điểm M, N, O là (P) chứa cả 2 đường thẳng a và b

Thực hành 7: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và điểm M không thuộc mp(a,b)

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M,a) và (M,b)

b) Lấy A, B lần lượt là hai điểm trên a, b và khác với điểm O. Tìm giao tuyến của (MAB) và mp(a,b)

c) Lấy điểm A' trên đoạn MA và điểm B' trên đoạn MB sao cho đường thẳng A'B' cắt mp(a,b) tại C. Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Giao tuyến của (M,a) và (M,b) là OM

b) Giao tuyến của (MAB) và mp(a,b) là AB

c) 

Giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và mp(a,b) là AB

Mà đường thằng A'B' thuộc mặt phẳng (MAB) cắt mp(a,b) tại C.

Suy ra C thuộc đường thẳng AB hay A,B,C thẳng hàng

Vận dụng 2: Giải thích tại sao ghế bốn chân có thể bị khập khiễng còn ghế ba chân thì không.

Hướng dẫn trả lời:

Nếu 4 điểm tại chân ghế không thuộc một mặt phẳng ta có thể xác định được 4 mặt phẳng nên ghế 4 chân có thể bị khập khiễng nếu các chân ghế không cân bằng.

Còn với ghế 3 chân, ta chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm chân ghế nên ghế ba chân không thể khập khiễng

Vận dụng 3: Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser để kẻ các đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà. Tìm giao tuyến của mặt phẳng được tạo bởi các tia laser OA và OB với các mặt tường trong Hinh 29.

Hướng dẫn trả lời:

Giao tuyến của mặt phẳng được tạo bởi các tia laser OA và OB với các mặt tường là AC và BC

4. Hình chóp và hình tứ diện

Khám phá 10: a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì

b) Tìm điểm giống nhau của các hình trong Hình 31.

Hướng dẫn trả lời:

a) Hình tam giác

b) Các hình trong Hình 31 có điểm giống nhau là các mặt bên là hình tam giác

Khám phá 11: Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?

Hướng dẫn trả lời:

Hình chóp có số mặt ít nhất là Hình a

Thực hành 8: Cho tứ diện SABC. Gọi H, K lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SA< SC ($H \neq A, A;K \neq S,C$) sao cho HK không song song với AC. Gọi I là trung điểm của BC (Hình 38)

a) Tìm giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (ABC)

b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAI) và (ABK); (SAI) và (BCH)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (SAC), kéo dài HK cắt AC tại E.

Ta có $E \in AC$ suy ra $E \in (SAC)$. 

Vậy giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (SAC) là E 

b) Ta có BK cắt SI tại M. A và M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAI) và (ABK) nên giao tuyến của (SAI) và (ABK) là AM

Ta có H và I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAI) và (BCH) nên giao tuyến của (SAI) và (BCH) là HI

Vận dụng 4: Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh bên của hình chóp lấy lần lượt các điểm A', B', C', D'. Cho biết AC cắt BD tại O, A'C' cắt B'D' tại O', AB cắt DC tại E và A'B' cắt D'C' tại E' (Hình 39). Chứng minh rằng:

a) S, O', O thẳng hàng

b) S, E', E thẳng hàng

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: S và O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

Ta có: S và O' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'C') và (SB'D') nên giao tuyến của (SA'C') và (SB'D') là SO'

Mà $(SAC) \equiv  (SA'C')$, $(SBD) \equiv  (SB'D')$ nên $SO \equiv SO'$

Hay S, O, O' thẳng hàng

b) Ta có: S và E là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SE

Ta có: S và E' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'B') và (SC'D') nên giao tuyến của (SA'B') và (SC'D') là SE'

Mà $(SAB) \equiv  (SA'B')$, $(SCD) \equiv  (SC'D')$ nên $SE \equiv SE'$

Hay S, E, E' thẳng hàng

Vận dụng 5:  Nếu các tạp lập tứ diện đều SABC từ tam giác đều SS'S" theo gợi ý ở Hình 40

Gọi A, B, C là 3 trung điểm của 3 cạnh trong tam giác đều SS'S"

Gấp các đường AB, BC, CA sao cho các đỉnh S, S', S'' trùng nhau

Ta được tứ diện đều SABC

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M,N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC.

a) Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC)

b) Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Hướng dẫn trả lời:

a) 

$M \in SA$ và $SA \subset (SAC)$ nên $M \in (SAC)$

$N \in SC$ và $SC \subset (SAC)$ nên $N \in (SAC)$

Vậy $MN \subset (SAC)$

b) Ta có: $O \in AC, AC \subset (SAC)$ nên $O \in (SAC)$

$O \in BD, BD \subset (SBD)$ nên $O \in (SBD)$

Nên O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.

b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).

c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD)

Hướng dẫn trả lời:

a)

Gọi I là giao điểm của SO và AM. Ta có: $I \in AM$

Do $I \in SO; SO \subset (SBD)$ nên $I \in (SBD)$

Vậy I giao điểm của AM và (SBD)

Trong tam giác SAC, ta có: M là trung điểm của SC, O là trung điểm của AC nên SO cắt AM tại I là trọng tâm của tam giác SAC

Suy ra $AI = \frac{2}{3} AM$ hay $AI = 2IM$

b) Trên mặt phẳng (SCD) kẻ một đường thẳng song song với AB cắt SD tại E.

Do ME//AB nên A,B,M,E cùng thuộc một mặt phẳng, hay $E \in (ABM)$

Vậy E là giao của (ABM) và SD

c) 

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi NC cắt BD tại P. 

Ta có S và P là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SNC) và (SBD) nên SP là giao tuyến của (SNC) và (SBD).

Trong mặt phẳng (SNC), gọi MN cắt SP tại Q. 

Do $SP \subset (SBD)$ nên $Q \in (SBQ)$

Vậy giao điểm của MN và (SBD) là Q

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD; P thuộc đoạn SC và không là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP)

b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP)

c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Hướng dẫn trả lời:

a) 

Trong mặt phẳng SBD, Gọi E là giao điểm của SO và MN

Do $MN \subset (MNP)$ nên $E \in (MNP)$

Vậy E là giao điểm của SO và (MNP)

b)

Trong mặt phẳng (SAC), gọi Q là giao điểm của EP Và SA.

Do $EP \subset (MNP)$ nên $Q \in (MNP)$

Vậy Q là giao điểm của SA và (MNP)

c) 

Ta có: I và K là điểm chung của hai mặt phẳng (QMN) và (ABCD). Nên IK là giao tuyến của (MNPQ) và (ABCD)

Ta có $J \in QP, QO \subset (MNPQ)$ nên $J \in (MNPQ)$

$J \in AC, AC \subset (ABCD)$ nên $J \in (ABCD)$

Do đó J là giao điểm của (ABCD) và (MNPQ) hay J nằm trên giao tuyến của (ABCD) và (MNPQ)

Vậy I, J, K thẳng hàng.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I ($I \neq C$), EG cắt AD tại H ($H \neq D$)

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD); (EFG) và (ACD)

b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm

Hướng dẫn trả lời:

a) 

Ta có I và G là hai điểm chung của mặt phẳng (EFG) và (BCD) nên giao tuyến của (EFG) và (BCD) là GI

Gọi M là giao điểm của GI và CD. $CD \subset (ACD)$ nên $M \in (ACD)$

Ta có M và F là điểm chung của mặt phẳng (EFG) và (ACD) nên giao tuyến của (EFG) và (ACD) là MF

b) Ta có $H \in AD, AD \subset (ACD)$ nên $H \in (ACD)$

$H \in EG; EG \subset (EFG)$ nên $H \in (EFG)$

Suy ra H là giao điểm của (EFG) và (ACD) nên H nằm trên giao tuyến của (EFG) và (ACD): $H \in FM$.

Hay HF đi qua M.

Do đó, CD, IG, HF cùng đi qua điểm M.

Bài 5: Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.

Hướng dẫn trả lời:

Do tia laser tạo ra một mặt phẳng, mặt phẳng này giao với mặt phẳng tường hoặc sàn nhà tại một đường thẳng.

Do đó có thể giúp người thợ kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà