Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Hai đường thẳng song song

MỞ ĐẦU

a) Khi 2 đường thẳng a, b cùng nằm trên một mặt phẳng thì a và b có thể trùng nhau, song song hoặc cắt nhau

b) Hai đường thẳng AB và CD không nằm trong bất kì mặt phẳng nào

Thực hành 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và CD

b) SA và SC

c) SA và BC

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABCD) ta có hình bình hành ABCD nên AB//CD

b) Trong mặt phẳng (SAC), ta có SA cắt SC tại điểm S.

c) Giả sử SA và BC cùng nằm trong một mặt phẳng (P). Suy ra đường thẳng AC nằm trong (P). Suy ra (P) chứa cả 4 điểm của tứ diện SABC. ĐIều này là vô lí.

Vạy SA và BC không nằm trong bất kì mặt phẳng nào, suy ra SA chéo với BC.

Vận dụng 1: Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.

Hướng dẫn trả lời:

Hai thanh sắt đối diện nhau qua hai bên cầu song song với nhau

Thanh sắt nằm ở mái cầu và thanh sắt nằm ở thành cầu chéo nhau

2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song

Khám phá 2: 

a) Trong không gian, cho điểm M ở ngoài đường thẳng d. Đặt (P)=mp(M,d). Trong (P), qua M vẽ đường thẳng d' song song với d, đặt (Q)=mp(d.d'). Có thể khẳng định hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau không?

b) Cho ba mặt phẳng (P),(Q), (R) cắt nhau theo ba giao tuyến a,b, c phân biệt với a=(P)∩(R);b=(Q)∩(R);c=(P)∩(Q) (Hình 8)

Nếu a và b có điểm chung M thì M có thuộc c không?

Hướng dẫn trả lời:

a) Do $M \in d'; d' \in (Q)$ nên $M \in (Q)$

Với 1 đường thẳng d và 1 điểm M không thuộc d, ta chỉ xác định duy nhất một mặt phẳng đi qua chúng nên (P) trùng (Q)

b) $M \in a; a \in (P)$ nên $M \in (P)$

$M \in b; b \in (Q)$ nên $M \in (Q)$

Do đó M là giao điểm của hai mặt phẳng (P) và (Q). 

Ta có: $c = (P) \cap (Q)$ 

Suy ra $c \in M$

Thực hành 2: Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD)

Hướng dẫn trả lời:

Ta có hình thang ADMS có đáy là AD và MS nên AD//MS

Trong không gian, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua S và song song với AD nên d phải trùng SM

Mà $SM \subset (ADMS)$ nên $d \subset (ADMS)$ Hay $d \subset (SAD)$

Thực hành 3: Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (Hình 13a)

Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp(a,c) và mp(M,b) (Hình 13b). Do b//c nên ta có d//b và d//c. Giải thích tại sao d phải trùng với a. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa a và b

Hướng dẫn trả lời:

Do d là giao tuyến của mp(a,c) và mp(M,b) nên $M \in d$.

Do chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua M và song song với b nên d phải trùng a

Thực hành 3: Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh IJNM là một hình thang

b) Tìm vị trị của điểm M để IJNM là hình bình hành

Hướng dẫn trả lời:

a) Mặt phẳng (P) đi qua IJ, mặt phẳng (ACD) đi qua CD

Mà I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD nên IJ//BD

Nên (P) giao với (ACD) tại MN//IJ//CD

Vậy IJMN là hình thang có đáy là MN và IJ

b) Để IJMN là hình bình hành thì IJ = MN

Mà $IJ = \frac{1}{2}CD$ nên $MN = \frac{1}{2}CD$ 

Vậy M là trung điểm của AC

Vận dụng 2: Một chiếc lều (Hình 16a) được minh hoạ như Hình 16b

a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song

b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy

Hướng dẫn trả lời:

a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến song song là: (P), (Q), (R)

b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến đồng quy là: (P), (R), (S)

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

a) Một đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b

b) Một đường thẳng c chéo a thì cũng chéo b

Hướng dẫn trả lời:

2 mệnh đề trên đều sai

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác ABC (Hình 17). Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt (SBC) tại N. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN).

Hướng dẫn trả lời:

Gọi I là giao điểm của AM và BC. Trong mặt phẳng (SAI), kẻ đường thẳng d song sóng SA cắt SI tại N

Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN) là đường thẳng đi qua C và song song với SA và MN

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?

Hướng dẫn trả lời:

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD

b) Giao tuyến của (BCM) với (SAD) là đường thẳng MN song song với BC

Do đó CBMN là hình thang

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. Hai mặt phẳng (IAC) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx. Chứng minh rằng Cx//SB.

Hướng dẫn trả lời:

Mặt phẳng (SBC) và (SAD) giao nhau tại đường thẳng d đi qua S và song song với BC

Trong mặt phẳng (SAD), kéo dài AI cắt d tại K.

$AI \subset (AIC)$ nên $K \in (ACI)$

Ta có C và K là 2 điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (CIA) nên CK là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (CIA)

Trong mặt phẳng (SADK) ta có AD//SK, I là trung điểm của SD nên AD = SK. Mà AB = BD. Suy ra SK = BC

Ta có SK//BC, SK = BC nên SBCK là hình bình hành.

Suy ra CK//SB. Hay Cx//SB

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a

b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK//BC//AD

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (SAC), gọi M là giao của CI và SA. $CI \subset (ICD)$ nên $M \in (ICD)$

Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao của DI và SB. $DI \subset (ICD)$ nên $N \in (ICD)$

Ta có MN là giao của của (ICD) và (SAB). Mà AB//CD nên MN//CD

Theo định lý Menelaus, trong tam giác SOA, ta có: $\frac{SM}{MA}.\frac{AC}{CO}.\frac{OI}{IS}=1$

Hay $\frac{SM}{MA}.2.1=1$. Suy ra: $\frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$ Nên $\frac{SM}{SA} = \frac{1}{3}$

Ta có MN//AB nên $\frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB}$

Vậy $MN = \frac{1}{3}a$

b) $K \in CN; CN \subset (SBC)$ nên $K \in (SBC)$

$K \in DM; DM \subset (SAD)$ nên $K \in (SAD)$

Ta có S và K là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) nên SK là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Mà AD//BC nên SK//BC//AD

Bài 6: Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế

Hướng dẫn trả lời:

Hình a: Các dây điện song song với nhau

Hình b: Các mép của viên gạch lát song song với nhau

Hình c: Các mép của bậc thang song song với nhau

Hình d: Các mép của phím đàn song song với nhau

Hình e: Các mép của từng ngăn kệ song song với nhau

Hình g: Các mép của viên gạch song song với nhau

Một số ví dụ khác về đường thẳng song song: Các gáy của quyền sách trong chồng sách, Các mép của chân bàn thẳng đứng,...