Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 5: Phép chiếu song song

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Các tia nắng song song theo phương l khi chiếu tới biển báo giao thông hình chữ nhật ABCD tạo thành bóng trên mặt đường (xem hình bên)

Bóng của biển báo này có dạng hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

Bóng của biển báo này có dạng hình bình hành. 

Bởi vì  góc lệch của mặt trời khiến các cạnh kề nhau của bóng không còn vuông góc với nhau nữa nhưng các cạnh đối diện vẫn song song với nhau và bằng nhau

1. Khái niệm phép chiếu song song

Khám phá 1: Trong mở đầu:

a) Các tia sáng AA', BB', DD' có song song với nhau hay không?

b) Nếu cách xác định bóng C' của điểm C trên mặt đường.

Hướng dẫn trả lời:

a) Các tia sáng AA', BB', DD' song song với nhau

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với l và cắt mặt đất tại C'. Ta được bóng C' của điểm C trên mặt đường.

Thực hành 1: Tìm phương chiếu, mặt phẳng chiếu của phép chiếu song sogn được mô tả trong Hình 2

Hướng dẫn trả lời:

phương chiếu a, mặt phẳng chiếu (Q)

Vận dụng 1: Tìm ảnh của hình hộp ABEF.DCGH qua phép chiếu song song được mô tả trong Hình 3.

Hướng dẫn trả lời:

ảnh của hình hộp ABEF.DCGH là hình A'B'E'F'.D'C'G'H'

2. Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song

Khám phá 2: Trong Hình 4, xét phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và song song với phương chiếu.

a) Khi điểm M thay đổi trên đường thẳng a thì ảnh M' của nó thay đổi ở đâu?

b) Từ đó hãy chỉ ra ảnh của đường thẳng a qua phép chiếu theo phương l lên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi M thay đổi trên đường thẳng a thì M' thay đổi trên đường thẳng a'

b) Ảnh của đường thẳng a theo phép chiếu theo phương l trên mặt phẳng (P) là đường thẳng a'

Thực hành 2: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và AB =2CD, hình chiếu song song của ABCD là tứ giác A'B'C'D'. Chứng minh rằng A'B'C'D' cũng là một hình thang và A'B' = 2C'D'.

Hướng dẫn trả lời:

Do ABCD là hình thang nên AB//CD. Phép chiếu song song của hai đoạn thẳng song song là hai đoạn thẳng song song nên A'B'//C'D'

Do phép chiếu song song không làm thay đổi tỷ lệ độ dài mà AB = 2CD nên A'B' = 2C'D'

Vậy A'B'C'D' là một hình thang và A'B' = 2C'D'

Vận dụng 2: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC và hình chiếu song song của tam giác ABC là tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng hình chiếu M' của M là trung điểm của B'C' và hình chiếu G' của G cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'

Hướng dẫn trả lời:

Do phép chiếu song song không làm thay đổi tỷ lệ độ dài các đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song nên $\frac{B'M'}{M'C'}=\frac{BM}{MC} = 1$. Do đó M' là trung điểm của B'C' 

Ta có $\frac{AG}{AM}=\frac{A'G'}{A'M'} = \frac{2}{3}$ nên G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Khám phá 4: Quan sát Hình 7 và cho biết các tia nắng song song đã tạo ra hình chiếu của hình hộp chữ nhật như thế nào trên nền nhà.

Hướng dẫn trả lời:

Các tia nắng song song tạo thành hình đa giác $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.A_{1}'B_{1}'C_{1}'D_{1}'$ trên nền nhà

Thực hành 3: Gọi tên các hình khối có hình biểu diễn là các hình trong Hình 10

Hướng dẫn trả lời:

a) Hình hộp chữ nhật

b) Hình lăng trụ tam giác

c) Hình chóp có đáy là hình thang

Vận dụng 3: Vẽ hình biểu diễn của một hình chóp tam giác S.ABC đặt trên một hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'

Hướng dẫn trả lời:

BÀI TẬP

Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó

b) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó

c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song nhau

d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau

Hướng dẫn trả lời:

Mệnh đề đúng là: a và b

Bài 2: Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều

Hướng dẫn trả lời:

Bài 3: Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn

Hướng dẫn trả lời:

Bài 4: Cho hai điểm A, B nằm ngoài mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng d cắt $(\alpha)$. Giả sử đường thẳng AB cắt $(\alpha)$ tại điểm O. Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên $(\alpha)$ theo phương của đường thẳng d. Ba điểm O, A', B' thẳng hàng không? Vì sao? Chọn d sao cho:

a) A'B' = AB

b) A'B' = 2AB

Hướng dẫn trả lời:

Hình chiếu của O theo phương d trên $(\alpha)$ là O

3 điểm O, A, B thẳng hàng nên hình chiếu A', B', O thẳng hàng

Ta có: $\frac{A'B'}{OA'}=\frac{AB}{OA}$

a) Để A'B' = AB thì OA = OA'. 

Vậy d là đường thắng song song với AA" với OA' = OA

b) Để A'B' = 2AB thì OA' = 2OA. 

Vậy d là đường thắng song song với AA" với OA' = 2OA

Bài 5: Vẽ hình biểu diễn của:

a) Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều

b) Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều

c) Hình hộp

Hướng dẫn trả lời:

a)

b)

c)