Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Sau khi sinh vật chết, lượng đồng vị phóng xạ carbon-14 trong cơ thể cứ sau 5730 năm thì giảm đi một nửa do quá trình phân rã. Đây là cơ sở của phương pháp xác định tuổi của hoá thạch bằng carbon phóng xạ carbon-14 trong khảo cổ học.

Việc tính toán tuổi của hoá thạch được thực hiện như nào

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x là lượng đồng vị phóng xạ carbon-14 ngay sau khi sinh vật chết

y là lượng đồng vị phóng xạ carbon-14 tại thời điểm t

Ta có: $y = x.(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$.

Từ đó, ta tính được tuổi của hoá thạch là $t=5730.log_{\frac{1}{2}}\frac{y}{x}$

1. Phương trình mũ

Khám phá 1: Số lượng cá thể vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy tuân theo công thức $P(t) = 50.10^{kt}$, trong đó t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm bắt đầu nuôi cấy, k là hằng số

a) Ban đầu mẻ có bao nhiêu cá thể vi khuẩn?

b) Sau 1 giờ thì mẻ có 100 cá thể vi khuẩn. Tìm giá trị của k (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

c) Sau bao lâu thì số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000?

Hướng dẫn trả lời:

a) Số lượng vi khuẩn lúc đầu là $P_{0} = 50.10^{k.0} = 50$

b) Khi t = 1, ta có: $100 = 50.10^{k.1}$

Suy ra k = 0,3

c) Khi P(t) = 50000 thì $50.10^{0,3.t} = 50000$ 

Suy ra t = 10

Vậy sau 10 giờ số lượng cá thể vi khuẩn đạt 50000

Khám phá 2: Cho đồ thị của hai hàm số $y=a^{x}$ và y = b như Hình 2a (với a > 0) hay Hình 2b (với 0 < a < 1). Từ đây, hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình $a^{x} = b$ trong hai trường hợp b > 0 và $b \leq 0$

Hướng dẫn trả lời:

Khi b > 0 phương trình $a^{x}=b$ có 1 nghiệm $x = log_{a}b$

Khi $b \leq 0$ phương trình $a^{x}=b$ vô nghiệm

Thực hành 1: Giải các phương trình sau:

a) $3^{x+2} =\sqrt[3]{9}$

b) $2.10^{2x} = 30$

c) $4^{2x} = 8^{2x-1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $3^{x+2} =\sqrt[3]{9} \Leftrightarrow 3^{x+2}= 3^{\frac{2}{3}}\Leftrightarrow x+2 =\frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \frac{-4}{3}$

b) $2.10^{2x} = 30 \Leftrightarrow 10^{2x}=15 \Leftrightarrow 2x =log15\Leftrightarrow x = \frac{log15}{2}$

c) $4^{2x} = 8^{2x-1} \Leftrightarrow  (2^{2})^{2x}=(2^{3})^{2x-1} \Leftrightarrow 2^{4x} = 2^{6x-3} \Leftrightarrow 4x = 6x - 3\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

Vận dụng 1: Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu $M_{0}$ là $M(t) = M_{0}(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$, trong đó t là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và T là chu kì bán rã của chất. Đồng vị plutonium-234 có chu kì bán rã là 9 giờ.

Từ khối lượng ban đầu 200g, sau bao lâu thì khối lượng plutonium-234 còn lại là: 

a) 100 g?

b) 50 g?

c) 20 g?

Hướng dẫn trả lời:

$M(t) = M_{0}(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}} \Leftrightarrow t = T.log_{\frac{1}{2}}\frac{M(t)}{M_{0}}$

a) Khi $M(t) = 100$ thì $t = 9.log_{\frac{1}{2}}\frac{100}{200}=9$ (giờ)

b) Khi $M(t) = 50$ thì $t = 9.log_{\frac{1}{2}}\frac{50}{200}=18$ (giờ)

c) Khi $M(t) = 20$ thì $t = 9.log_{\frac{1}{2}}\frac{50}{200}=30$ (giờ)

2. Phương trình lôgarit

Khám phá 3: Nhắc lại rằng, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = -logx, trong đó x là nồng độ ion $H^{+}$ tính bằng mol/L

Biết sữa có độ pH là 6,5. Nồng độ $H^{+}$ của sữa bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $6,5 = -logx \Leftrightarrow x = 10^{-6,5} \Leftrightarrow x = 3,2. 10^{-7}$

Vậy nồng độ $H^{+}$ của sữa là $3,2. 10^{-7}$

Khám phá 4: Cho đồ thị của hai hàm số $y=log_{a}x (a>0; a \neq 1)$ và y = b như Hình 3a (với a > 1) hay Hình 3b (với 0 < < a < 1). Từ đây hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình $log_{a}x=b$

Hướng dẫn trả lời:

Phương trình $log_{a}x=b$ có 1 nghiệm $x=a^{b}$

Thực hành 2: Giải các phương trình sau:

a) $log_{\frac{1}{2}}(x-2) = -2$

b) $log_{2}(x+6) = log_{2}(x+1) + 1$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{\frac{1}{2}}(x-2) = -2$

$\Leftrightarrow x - 2 = (\frac{1}{2})^{-2}$

$\Leftrightarrow x-2 = 4$

$\Leftrightarrow x = 6$

b) $log_{2}(x+6) = log_{2}(x+1) + 1$

$\Leftrightarrow log_{2}(x+6)=log_{2}(x+1)+log_{2}2$

$\Leftrightarrow log_{2}(x+6)=log_{2}[2(x+1)]$

$\Leftrightarrow x + 6 = 2(x+1)$

$\Leftrightarrow x =4$

3. Bất phương trình mũ

Khám phá 5: Xét quần thể vi khuẩn ở Khám phá 1

a) Ở những thời điểm nào thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000?

b) Ở những thời điểm nào thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000 nhưng chưa vượt quá 100000?

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi P(t) = 50000 thì t = 10. 

Vậy tại những thời điếm t > 10 thì số lượng vi khuẩn vượt quá 50000

b) Khi P(t) = 100000 thì t = 11 

Vậy tại những thời điểm t < 11 thì số lượng vi khuẩn không vượt quá 100000

Suy ra khi 10 < t < 11 thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000 nhưng chưa vượt quá 100000

Thực hành 3: Giải các bất phương trình sau:

a) $2^{x}>16$

b) $0,1^{x} \leq 0,001$

c) $(\frac{1}{5})^{x-2} > (\frac{1}{25})^{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $2^{x}>16 \Leftrightarrow 2^{x}>2^{4}\Leftrightarrow x>4 $ (do 2>1)

b) $0,1^{x} \leq 0,001 \Leftrightarrow 0,1^{x}\leq 0,1^{3}\Leftrightarrow x \geq 3 $ (do 0,1<1)

c) $(\frac{1}{5})^{x-2} > (\frac{1}{25})^{x} \Leftrightarrow (\frac{1}{5})^{x-2} > [(\frac{1}{5})^{2}]^{x}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{5})^{x-2} > (\frac{1}{5})^{2x} \Leftrightarrow x - 2 < 2x\Leftrightarrow x > -2$ (do $\frac{1}{5} < 1$)

4. Bất phương trình logarit

Khám phá 6: Biết rằng máu của người bình thường có độ PH từ 7,30 đến 7,45. Nồng độ $H^{+}$ trong máu nhận giá trị trong miền nào?

Hướng dẫn trả lời:

Khi pH = 7,30 thì nồng độ $H^{+}$ là $10^{-7,30} = 5.10^{-8}$

Khi pH = 7,45 thì nồng độ $H^{+}$ là $10^{-7,45} = 3,5.10^{-8}$

Vậy nồng độ $H^{+}$ trong máu nhận giá trị từ $3,5.10^{-8}$ đến $5.10^{-8}$

Thực hành 4: Giải các bất phương trình sau:

a) $log_{\frac{1}{3}}(x+1) < 2$

b) $log_{5}(x+2) \leq 1$

Hướng dẫn trả lời:

a) Điều kiện xác định: $x + 1 > 0  \Leftrightarrow  x > -1$

Khi đó, do $\frac{1}{3} < 1$ nên $x+1 > (\frac{1}{3})^{2} \Leftrightarrow x > \frac{-8}{9}$

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là $x > \frac{-8}{9}$

b) Điều kiện xác định: $x+2 > 0 \Leftrightarrow  x> -2$

Khi đó, do 5 > 1 nên $x+2 \leq 5^{1} \Leftrightarrow x \leq 3$

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là $-2 < x \leq 3$

Vận dụng 2: Nước uống đạt tiêu chuẩn phải có độ pH nằm trong khoảng từ 6,5 đến 8,5. Nồng độ $H^{+}$ trong nước uống tiêu chuẩn phải nằm trong khoảng nào?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $6,5 \leq pH \leq 8,5 \Leftrightarrow  6,5 \leq -logx \leq 8,5 \Leftrightarrow 3,2.10^{-9} \leq x \leq 3,2.10^{-7}$

Vậy nồng độ $H^{+}$ trong nước uống tiêu chuẩn phải nằm trong khoảng từ $3,2.10^{-9}$ tới $3,2.10^{-7}$

BÀI TẬP

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $5^{2x-1} = 25$

b) $3^{x+1} = 9^{2x+1}$

c) $10^{1-2x} = 100000$

Hướng dẫn trả lời:

a) $5^{2x-1}=25 \Leftrightarrow 5^{2x-1}=5^{2}\Leftrightarrow 2x-1=2 \Leftrightarrow x =\frac{3}{2}$

b) $3^{x+1} = 9^{2x+1} \Leftrightarrow 3^{x+1}=(3^{2})^{2x+1}$

$\Leftrightarrow 3^{x+1}=3^{4x+2}\Leftrightarrow x+1 = 4x+2 \Leftrightarrow x = \frac{-1}{3}$

c) $10^{1-2x} = 100000 \Leftrightarrow 10^{1-2x}=10^{5}\Leftrightarrow 1-2x = 5\Leftrightarrow x = -2$

Bài 2: Giải các phương trình sau. Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn

a) $3^{x+2}=7$

b) $3.10^{2x+1} = 5$

Hướng dẫn trả lời:

a) $3^{x+2}=7 \Leftrightarrow x + 2 = log_{3}7\Leftrightarrow x = log_{3}7-2\Leftrightarrow x = -0,229$

b) $3.10^{2x+1} = 5\Leftrightarrow 10^{2x+1}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow 2x+1=log\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow x = (log\frac{5}{3}-1):2\Leftrightarrow x = -0,389$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) $log_{6}(4x+4) = 2$

b) $log_{3}x - log_{3}(x-2)=1$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{6}(4x+4) = 2 \Leftrightarrow 4x+4 = 6^{2}\Leftrightarrow x = 8$

b) $log_{3}x - log_{3}(x-2)=1 \Leftrightarrow log_{3}\frac{x}{x-2}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{x-2} = 3\Leftrightarrow x = 3(x-2)\Leftrightarrow x = 3$

Bài 4: Giải các bất phương trình sau:

a) $(\frac{1}{3})^{2x+1} \leq 9$

b) $4^{x} > 2^{x-2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(\frac{1}{3})^{2x+1} \leq 9 \Leftrightarrow (\frac{1}{3})^{2x+1} \leq(\frac{1}{3})^{-2}\Leftrightarrow 2x+1 \geq -2 \Leftrightarrow x \geq \frac{-3}{2}$ (do $\frac{1}{3} <1$)

b) $4^{x} > 2^{x-2} \Leftrightarrow (2^{2})^{x}>2^{x-2}\Leftrightarrow 2^{2x}>2^{x-2}\Leftrightarrow 2x > x-2\Leftrightarrow x > -2$ (do 2>1)

Bài 5: Giải các bất phương trình sau:

a) $log_{2}(x-2)<2$

b) $log(x+1) \geq log(2x-1)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{2}(x-2)<2 \Leftrightarrow x-2 <2^{2}\Leftrightarrow x<6$

b) $log(x+1) \geq log(2x-1) \Leftrightarrow x+1 \geq 2x - 1\Leftrightarrow x\leq 2$

Bài 6: Chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Điều này có nghĩa là cứ sau 138 ngày, lượng polonium còn lại trong một mẫu chỉ bằng một nửa lượng ban đầu. Một mẫu 100 g có khối lượng polonium-210 còn lại sau t ngày được tính theo công thức $M(t) = 100(\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}}$ (g)

a) Khối lượng polonium còn lại bao nhiêu sau 2 năm?

b) Sau bao lâu thì còn lại 40 g polonium-210?

Hướng dẫn trả lời:

a) Khối lượng polonium-210 còn lại sau 2 năm (730 ngày) là: 

$M(2) = 100(\frac{1}{2})^{\frac{730}{138}}=2,56 (g)$

b) M(t) = 40 khi $100(\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}} =40\Leftrightarrow t = 182,4$

Vậy sau 182,4 ngày còn lại lại 40 g polonium-210

Bài 7: Nhắc lại rằng, mức cường độ âm L được tính bằng công thức $L=10log(\frac{I}{I_{0}}) (dB)$, trong đó I là cường độ âm tính bằng $W/m^{2}$ và $I_{0} =10^{-12} W/m^{2}$

a) Một giáo viên đang giảng bài trong lớp học có mức cường độ âm là 50 dB. Cường độ âm của giọng nói giáo viên bằng bao nhiêu?

b) Mức cường độ âm trong một nhà xưởng thay đổi trong khoảng từ 75 dB đến 90 dB. Cường độ âm trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi L = 50 thì $10log(\frac{I}{10^{-12}}) = 50 \Leftrightarrow  I = 10^{-7}$

Vậy cường độ âm của giọng nói giáo viên là $10^{-7} W/m^{2}$

b) Khi L = 75 thì $10log(\frac{I}{10^{-12}}) = 75 \Leftrightarrow  I = 3,2.10^{-5}$

Khi L = 90 thì $10log(\frac{I}{10^{-12}}) = 90 \Leftrightarrow  I =10^{-3}$

Vậy cường độ âm trong nhà xưởng thay đổi từ $3,2.10^{-5}$ đến $10^{-3}$