Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chương VIII

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. (SAD)

B. (SAC)

C. (SAB)

D. (SBD)

Hướng dẫn trả lời:

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp CD$

Mà $CD \perp AD$ nên $CD \perp (SAD)$

Đáp án: A

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh b, SA vuông góc với mặt đáy, $SC= 2b\sqrt{2}$. Số đo góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:

A. $60^{o}$

B. $30^{o}$

C. $45^{o}$

D. $50^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: $\widehat{SCA}$

Ta có: $AC =b\sqrt{2}$, $cos\widehat{SCA} =\frac{AC}{SC} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\widehat{SCA} = 60^{o}$

Đáp án: A

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBD) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

A. (SBC)

B. (SAC)

C. (SBD)

D. (ABCD)

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có: $SO \perp (ABCD)$. Suy ra: $SO \perp BD$

Mà $BD \perp AC$ nên $BD \perp (SAC)$

Suy ra $(MBD) \perp (SAC)$

Đáp án: B

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên là:

A. $\frac{a\sqrt{14}}{7}$

B. $\frac{a\sqrt{2}}{7}$

C. $\frac{a\sqrt{14}}{2}$

D. $\frac{2a\sqrt{14}}{7}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M là trung điểm của BC

Ta có: $AM = a\sqrt{3}, OM = \frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Kẻ $OH \perp SM$

Tam giác SOM vuông tại O có OH là đường cao nên $\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OM^{2}}+\frac{1}{SO^{2}}$

Suy ra $OH = \frac{a\sqrt{14}}{7}$

Đáp án: A

Câu 5: Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a và chiều cao bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ là:

A. $\frac{7\sqrt{2}}{8}a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{4}a^{3}$

C. $\frac{7\sqrt{2}}{12}a^{3}$

D. $\frac{7\sqrt{3}}{4}a^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích đáy nhỏ là: $\frac{\sqrt{3}}{4}.a^{2}$

Diện tích đáy lớn là: $\frac{\sqrt{3}}{4}.(2a)^{2} =\sqrt{3}a^{2}$

Thể tích khối chóp là:

$\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{3}.(\frac{\sqrt{3}}{4}.a^{2}+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}.a^{2}.\sqrt{3}a^{2}}+\sqrt{3}a^{2}) = \frac{7\sqrt{2}}{12}.a^{3}$

Đáp án: C

Câu 6: Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Góc nhị diện [S,BC,A] có số đo là:

A. $75^{o}46'$

B. $71^{o}21'$

C. $68^{o}31'$

D. $65^{o}12'$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có: $OM =\frac{1}{2}.AB = 2a; AC =\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 5a; OC=\frac{1}{2}AC = \frac{5}{2}a$

$SO = \sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}a$

$[S, BC, A] = \widehat{SMO}$

$tan\widehat{SMO}= \frac{SO}{OM} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

Suy ra: $\widehat{SMO} =65,2^{o}$

Đáp án: D

Câu 7: Nếu hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3;4;5 thì độ dài đường chéo của nó là:

A. $5\sqrt{2}$

B. 50

C. $2\sqrt{5}$

D. 12

Hướng dẫn trả lời:

Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật là: $\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}} = 5\sqrt{2}$

Đáp án: A

Câu 8: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:

A. $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3}.\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{a^{3}.\sqrt{2}}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích mặt đáy là: $\frac{a^{2}.\sqrt{3}}{4}$

Thể tích khối lăng trụ là: $a.\frac{a^{2}.\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{4}$

Đáp án: A

CÂU HỎI TỰ LUẬN

Câu 9: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

a) Chứng minh rằng $(SMD)\perp (SNC)$

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC)

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên $SM\perp AB$. Mà $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SM \perp (ABCD)$

Suy ra: $SM \perp NC$

Ta có tam giác AMD và tam giác DNC bằng nhau nên $\widehat{AMD}=\widehat{CND}$

mà $\widehat{AMD}+\widehat{ADM} = 90^{o}$ nên $\widehat{CND}+\widehat{ADM} = 90^{o}$

suy ra tam giác DNE vuông tại E. Hay $DM \perp NC$

Mà $SM \perp NC$ nên $NC \perp (SMD)$

Vậy $(SNC) \perp (SMD)$

b) Kẻ $MK \perp (SE)$

Vì $NC \perp (SMD)$ nên $NC \perp MK$. Suy ra $MK \perp (SNC)$

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác CND vuông có DE là đường cao nên $\frac{1}{DE^{2}}=\frac{1}{DN^{2}}+\frac{1}{DC^{2}}$. Suy ra $DE = \frac{a\sqrt{5}}{5}$

$DM = \sqrt{AM^{2}+AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$ME = MD - DE = \frac{3a\sqrt{5}}{10}$

$SM \perp (ABCD)$ nên $SM \perp ME$

Tam giác SME vuông tại M có MK là đường cao nên $\frac{1}{MK^{2}}=\frac{1}{SM^{2}}+\frac{1}{ME^{2}}$. Suy ra $MK = \frac{3a\sqrt{2}}{8}$

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\perp (SABCD)$ và SA = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC và SD. Tính khoảng cách giữa AM và NP

Hướng dẫn trả lời:

$SA \perp (SBCD)$ nên $SA \perp BC$

Mà $BC \perp AB$ nên $BC \perp (SAB)$

Tam giác SBC có MN là đường trung bình nên MN // BC, $MN =\frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$

Suy ra: $MN \perp (SAB)$ và $MN \perp AM$

Tam giác SCD có NP là đường trung bình nên NP // CD

Mà MN // BC, $BC \perp CD$ 

Suy ra $MN \perp NP$

Vậy $d(AM,NP) = MN =\frac{a}{2}$

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD =2a, CD =a; số đo góc nhị diện [S, BC, A] bằng $60^{o}$. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ $IH \perp BC$

Ta có: $(SIB)\perp (ABCD), (SIC)\perp (ABCD), (SIB) \cap (SIC) = SI$

Nên $SI\perp (ABCD)$. Suy ra $SI\perp BC$. Mà $BC \perp IH$ 

Suy ra $BC \perp (SIH), BC \perp SH$ 

Ta có: $[S, BC, A] = \widehat{SHI} = 60^{o}$

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}2a(a+2a) = 3a^{2}$

$S_{ABI} =\frac{1}{2}.2a.a=a^{2}$

$S_{IDC} =\frac{1}{2}.a.a=\frac{1}{2}a^{2}$

$S_{IBC} = 3a^{2}-a^{2}-\frac{1}{2}a^{2} = \frac{3}{2}a^{2}$

$BC =\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=a\sqrt{5}$

$S_{IBC} =\frac{1}{2}IH.BC$ nên $IH = \frac{3a}{\sqrt{5}}$

$SI = IH.tan60^{o} = \frac{3a\sqrt{15}}{5}$

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.SI.S_{ABCD} = \frac{3a^{3}\sqrt{15}}{5}$

Bài 12: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh dáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a, chiều cao h = 2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng $\frac{a}{2}$

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo a

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ $OJ \perp AD, O'K \perp A'D', KH\perp OJ$ 

Ta có: $O'K  = OH =\frac{a}{2}$

$OJ = \frac{2a}{2}=a$

$JH = OJ - OH = \frac{a}{2}$

$KH = OO' = 2a$

Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $\widehat{KIH}$

$tan\widehat{KIH} = \frac{KH}{JH} = 4$

Vậy $\widehat{KIH} = 76^{o}$

b) Thể tích chân cột là:

$\frac{1}{3}.2a(a^{2}+\sqrt{a^{2}.(2a)^{2}}+(2a)^{2})-2a.\pi.(\frac{a}{2})^{2} = (\frac{14}{3}-\frac{\pi}{2})a^{3}$

Bài 13: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = a, đáy ABCD là hình thoi có AB = BD = a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt đáy trùng với điểm O là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối chóp.

Hướng dẫn trả lời:

$A'O \perp (ABCD)$ nên $A'O \perp AO$

Ta có: AB = BD = a nên ABD là tam giác đều, $AO =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$A'O = \sqrt{AA'^{2}-AO^{2}} = \frac{a}{2}$

$AC =2AO = a\sqrt{3}$

$V = A'O.S_{ABCD} = \frac{a}{2}. \frac{1}{2}.a.a\sqrt{3} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$