Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới Bài tập cuối chương VII

A- TRẮC NGHIỆM

Bài tập 7.33 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho các phát biểu sau:

(1) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với
mặt phẳng (R) thì $a \perp (R)$.

(2) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng a thì $b \perp (Q)$.

(3) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và a vuông góc với (Q) thì $(P)\perp(Q)$.

(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì $a \perp (Q)$.

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

C. 3.

Phát biểu (2) (3) (4) đúng

Bài tập 7.34 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và a là giao tuyến của (P) và (Q). Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?

A. Đường thẳng d nằm trên (Q) thì d vuông góc với (P).

B. Đường thẳng d nằm trên (Q) và d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

C. Đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

D. Đường thẳng d vuông góc với (Q) thì d vuông góc với (P).

Hướng dẫn giải

C. Đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

Điều này là đúng, vì khi hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng chung, chúng sẽ song song hoặc vuông góc với nhau.

Bài tập 7.35 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Số đo của góc nhị diện [S,AB,C] bằng $\widehat{SBC}$.

B. Số đo của góc nhị diện [D,SA,B] bằng $90^\circ$.

C. Số đo của góc nhị diện [S, AC,B] bằng $90^\circ$.

D. Số đo của góc nhị diện [D, SA,B] bằng $\widehat{ BSD}$.

Hướng dẫn giải

D. Số đo của góc nhị diện [D, SA,B] bằng $\widehat{ BSD}$.

Góc nhị diện [D,SA,B] là góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SDB). Do
ABCD là hình tứ giác đều nên SB là đoạn thẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) tại trung điểm M của
CD. Khi đó,$\widehat{BSD}  là góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (SBD). Tương tự, $widehat{SAD} là góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (SAB). Do đó, $widehat{BSD}=\widehat{SAD}$ và chúng là góc nhị diện [D,SA,B].

Bài tập 7.36 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $SA \perp (ABCD)$.

Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).

B. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).

D. Đường thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn giải

C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).

Ta có thể chứng minh rằng đường thẳng AC không vuông góc với mặt phẳng (SBD) bằng cách vẽ đường thẳng SC và chứng minh rằng đường thẳng AC không cắt đường thẳng SC theo góc vuông.

Bài tập 7.37 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S, chiều cao bằng h là:

A. $V=S.h$

B. $V=\frac{1}{2}S.h$

C. $V=\frac{1}{3}S.h$

D. $V=\frac{2}{3}S.h$

Hướng dẫn giải

C. $V=\frac{1}{3}S.h$

B - TỰ LUẬN

Bài tập 7.38 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a$, $OB = a\sqrt{2}$ và $OC = 2a$. Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Hướng dẫn giải

$d(O,(ABC))=\frac{\left | \vec{n} .\vec{OA}\right |}{\left | \vec{n} \right |}$

$=\frac{\left | a(b^{2}c-c^{2}b)+b(c^{2}a-a^{2}c)+c(a^{2}b-b^{2}a)\right |}{abc\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}=\sqrt{2}a$

Vậy, khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\sqrt{2}a$.

Bài tập 7.39 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ cân tại $A$, tam giác $BCD$ cân tại $D$. Gọi I là trung điểm của cạnh $BC$.

a) Chứng minh rằng $BC \perp (AID)$.

b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $AH \perp (BCD)$.

c) Kẻ đường cao $IJ$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $AB=AC$, $BC=BD$ nên tam giác $ABD$ cân tại $B$. Suy ra $BD$ là đường trung trực của $AC$ và $BD\perp AC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Khi đó, ta có $IM // BD$ và $IM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}BC$ (do $I$ là trung điểm của $BC$).

Suy ra tam giác $AIM$ cân tại $A$ và $AI \perp IM$. Như vậy, $AI$ là đường cao của tam giác $AIM$, từ đó $AI \perp BC$.

Do đó, ta có $BC\perp (AID)$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $BD$. Khi đó, ta có $AH \perp BD$ (do $H$ thuộc $AI$), $BD \perp AC$ và $AC\perp AI$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$).

Suy ra $AH // AC$ và $AH\perp BCD$.

c) Gọi $J$ là trung điểm của $ID$. Khi đó, ta có $IJ // AD$ và $IJ=\frac{1}{2}AD$ (do $I$ là trung điểm của $BC$ và $BC // AD$).

Ta có $AI\perp BC$, $ID \perp BC$, suy ra $AI // ID$. Như vậy, tam giác $AIM$ và $DID$ đồng dạng, từ đó ta có $\frac{IJ}{IM}=\frac{ID}{AI}$.

Như vậy, $\frac{IJ}{AD}=\frac{1}{2}\frac{ID}{AI}=\frac{1}{2}\frac{ID}{IM}$. Do đó, $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.

Bài tập 7.40 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $BC = a$ và $\widehat{CAB} = 30^\circ$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = a\sqrt {2}$.

a) Chứng minh rằng $(SBC) \perp (SAB)$.

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$ và khoảng cách từ điểm $A $đến mặt phẳng $(SBC)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $SA \perp (ABC)$ nên $(SAB) \perp (ABC)$. Mặt khác, $AB \perp BC$ nên $(SAB) \perp (SBC)$. Từ đó suy ra $(SBC) \perp (SAB)$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $AH \perp BC$.

Vậy $AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$, nên $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $SC = \sqrt{SA^2 - AC^2} = a$ (vì $AC = 2AB = 2\cdot\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$).

$SB = AB = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $SC = a$

$BC = a\sqrt{2}$, $\widehat{BSC} = 90^\circ$

Vậy diện tích của tam giác $SBC$ là $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{a^2}{2\sqrt{3}}$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\frac{S_{SBC}}{BC} = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.

Bài tập 7.41 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ ABCD$ là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác $SAD$ vuông cân tại S và $(SAD) \perp (ABCD)$.

a) Tính theo a thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng$ AD$ và$ SC$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $H$ là trung điểm của $AD$ 

Ta có:

$AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SH=SA-AH= a\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là 

$V= \frac{1}{3}.S_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

b) $SE$ vuông góc với đường thẳng $AD$ và $E$ thộc $AD$ 

Gọi $M$ là trung điểm cua $BC$. Ta có $SM \perp BC$ và $SM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

$BM=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$,$CM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy $MC // AE$ ,ta có

$AE= AC - CE= AB+BC-BM$

$=a+a\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a+2a\sqrt{2}}{2}$

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và$SC$ là

$CE= AE$ $sin45^{\circ }=\frac{(3+2\sqrt{2})a}{4}$

 Bài tập 7.42 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng a, $AA' \perp (ABCD)$ và $\widehat{BAD} = 60^{\circ}$.

a) Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$.

Hướng dẫn giải

a) $V = S_{ABCD} \cdot AA' = a^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(A'BD)$

Gọi $M$ là trung điểm $BD$.

Ta có $AM=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$ và $BM=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, khi đó

$AH=AM.cos\widehat{AMB}$

$=\frac{a}{2}.\frac{\frac{1}{2}a}{\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a\sqrt{3}}{4})^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ là $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Bài tập 7.43 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Biết A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C.

Hướng dẫn giải

Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' là:

$ V_{lăng trụ}=S_{hình bình hành}+S_{mặt bên}=a^{2}+a^{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a^{2}.(\frac{(2+\sqrt{2})}{2})$

Để tính thể tích của khối chóp A'.BB'C'C

Ta đã tính được $S_{đáy} = a^2$, $h = a$ (vì đây là hình chóp đều), nên thể tích của khối chóp là: $V_{A'.BB'C'C}=\frac{1}{3}.S_{day}.h=\frac{1}{3}.a^{2}.a=a^{\frac{3}{3}}$

Vậy thể tích của khối chóp A'.BB'C'C là $a^{\frac{3}{3}}$.

 Bài tập 7.44 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AB // CD$ và $AB = BC = DA = a$, $CD = 2a$. Biết hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$ tích của khối chóp $S.ABCD$.

Hướng dẫn giải

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OC=\frac{1}{2}CD=a$

$OS \perp AC$ và $AS=OC=a$. Mặt khác, $(SAC) \perp (ABCD)$ nên $(SAC)\perp AB$. Suy ra $AS \perp SAC$

Tương tự, ta có $SD \perp BD$ và $BD // AC$, suy ra $SD \perp SBD$. Do $(SBD)$ vuông góc với $(ABCD)$, nên $(SBD)\perp BD$. Suy ra $SD$ là đường cao của tam giác $SBD$.

$ABCD$ là hình thang cân nên ta có: 

$V_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD).h=\frac{1}{2}(a+2a).a=\frac{3}{2}a^{2}$

thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.a\sqrt{2}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}a^{2}.a\sqrt{2}=\frac{1}{2}a^3\sqrt{2} $

Bài tập 7.45 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột AB có chiều dài bằng 10 m và tạo với mặt đất góc 80$^{\circ}$. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của cây cột trên mặt đất dài 12 m vào tạo với cây cột một góc bằng 120$^{\circ}$ (tức là $\widehat{ABC} =120^{\circ}$). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.

Hướng dẫn giải

Gọi $D$ là vị trí của tia sáng mặt trời và $E$ là giao điểm của đường thẳng chứa $BD$ và mặt đất 

Ta có, $\widehat{ABE}=90^{\circ}-\widehat{BAC}=10^{\circ}$

Và $\widehat{AEB}=180^{\circ}-\widehat{ABD}$

Ta lại có $\widehat{BDC}=80^{\circ}$ suy ra $\widehat{BDA}=\widehat{BDC}=10^{\circ}$

$\widehat{AED}=80^{\circ }$ và $ \widehat{BED}=\widehat{ABD}+\widehat{AEB}=80^{\circ }+10^{\circ }=90^{\circ }$

Ta lại có $\widehat{BEC}=180^{\circ }-\widehat{CED}$ 

Trong tam giác $BEC$ , ta có 

$tan(\widehat{BCD})=tan(10^{\circ })$

$=\frac{BC}{CD}=\frac{BC}{2BCcot(80^{\circ })}=\frac{1}{2}tan(80^{\circ })$

Do đó $tan(\widehat{BCE})=tan(90^{\circ }-\widehat{BCD})$

$=cot (\widehat{BCD})=\frac{1}{tan(10^{\circ })}=tan(80^{\circ })$

$\widehat{BEC}=90^{\circ }\Rightarrow \widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{BEC}=45^{\circ }$

Ta tính được 

$\widehat{DEB}=\widehat{DEC}-\widehat{BEC}$

$=90^{\circ }-\widehat{BCE}-\widehat{BEC}$

$=90^{\circ }-45^{\circ }-80^{\circ }=-35^{\circ }$