Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).

Đổi $45^o$ = 45 . $\frac{\Pi }{180}$= $\frac{\Pi }{4}$ rad

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là l=Rα=6800.$\frac{\Pi }{4}$≈5340,708≈5341 (km)

1. GÓC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nhận biết khái niệm góc lượng giác

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Hướng dẫn giải:

a) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng $\frac{2}{12}$ = $\frac{1}{6}$  vòng tròn.

b) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay của chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều quay của kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng $\frac{10}{12}$ = $\frac{5}{6}$vòng tròn.

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ.

Bài 2: Cho góc hình học uOv = $45^o$. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou,Ov) trong mỗi trường hợp... 

Hướng dẫn giải:

a) $\widehat{Ou, Ov}$ = $45^o$

b) $\widehat{Ou, Ov}$ = -($360^o$-$45^o$)= -$315^o$

Bài 3: Nhận biết hệ thức Chasles....

Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là 30° và 45°.

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để

$\widehat{Ou, Ov}$ + $\widehat{Ov, Ow}$ = $\widehat{Ou, Ow}$ + k $360^o$

Hướng dẫn giải:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

sđ(Ou, Ov) = 30°;

sđ(Ov, Ow) = 45°;

sđ(Ou, Ow) = – (360° – 30° – 45°) = – 285°.

b)  Ta có: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30° + 45° = 75°.

Lại có: – 285° + 1 . 360° = 75°.

Vậy tồn tại một số nguyên k = 1 để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°

Bài 4: Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo 240° và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo – 270°. Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).

Hướng dẫn giải:

Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là

sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) – sđ(Ox, Ou) + k360°

= – 270° – 240° + k360° = – 510° + k360°

= 210° – 720° + k360° = 210° + (k – 2)360°

= 210° + m360° (m = k – 2, m ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 210° + m360° (m ∈ ℤ).

2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

Bài 1: 

a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau: 360∘;−450∘

b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau: 3$\Pi $, -$\frac{11\Pi }{5}$

Hướng dẫn giải:

a) $360^o$=360.$\frac{\Pi }{180}$= 2 $\Pi $

-$450^o$=-$\frac{5\Pi }{2}$

b) 3π=3π.180o=540o 

-$\frac{11\Pi }{5}$=-396 

Bài 2: Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu?

b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo α rad.

Hướng dẫn giải:

a) Theo lí thuyết ta có cung tròn có số đo bằng 1 rad nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Do đó, độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là R.

b) Vì độ dài của cung tròn có đo bằng 1 rad là R nên độ dài của cung tròn có số đo α rad là l = Rα.

Bài 3: Giải bài toán ở tình huống mở đầu

Hướng dẫn giải:

 Bán kính quỹ đạo từ trạm vũ trụ quốc tế đến tâm trái đất là

R=6400+400=6800 (km)

Vậy trạm ISS đã di chuyển được số km là:

l=R.α=6800.$\frac{\Pi }{4}$≈5340,708  ≈5 341 km.

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1;0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quy kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ 

a) Xác định điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA,OM)=$\frac{5\Pi }{4}$

b) Xác định điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA,ON)=−$\frac{7\Pi }{4}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: sđ(OA, OM) = $\frac{5\Pi }{4}$ = $\Pi$ + $\frac{\Pi  }{4}$

 Minh họa như hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) = -$\frac{7\Pi }{4}$ = -($\frac{3\Pi }{4}$ + $\Pi $)

 Minh họa như hình vẽ dưới đây:

Bài 2: Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng 

-$\frac{15\Pi }{4}$ và $420^∘$

Hướng dẫn giải:

 Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng -$\frac{15\Pi }{4}$ được xác định trong hình vẽ

Điểm N biểu diễn góc lượng giác có số đo $420^o$=$60^o$+$360^o$ bằng được xác định trong hình dưới đây:

Bài 3: Nhắc lại giá trị lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α của góc α (0° ≤ α ≤ 180°) đã học ở lớp 10

Hướng dẫn giải:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$=α. Khi đó:

+ sin của góc là tung độ y0 của điểm M, kí hiệu là sin α; sin α=y0.

+ côsin của góc là hoành độ của x0 của điểm M, kí hiệu là cos α; cos α=x0.

+ Khi $90^o$ (hay là x0≠0), tang của là $\frac{yo}{xo}$  , kí hiệu là tan α; 

tan α = $\frac{Sin α}{Cos α}$ = $\frac{xo}{yo}$

+ Khi α $\neq $ $0^o$ và $180^o$ (hay y0≠0), côtang của là $\frac{xo}{yo}$, kí hiệu là cot ;

cot = $\frac{Cos α}{Sin α}$ = $\frac{xo}{yo}$

Bài 4: Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{5\Pi }{6}$

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho

Hướng dẫn giải:

a)  Điểm M có số đo bằng $\frac{5\Pi }{6}$ được xác định trên đường tròn lượng giác như sau:

b) sin($\frac{5\Pi }{6}$) = $\frac{1}{2}$

cos($\frac{5\Pi }{6}$) =  -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

tan($\frac{5\Pi }{6}$) = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

cot($\frac{5\Pi }{6}$) = $\sqrt{3}$

Bài 5: Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{\Pi }{6}$

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho

Hướng dẫn giải:

a) Dùng máy tính cầm tay fx570VN PLUS.

+ Để tính cos $\frac{3\Pi }{7}$ ta thực hiện bấm phím lần lượt:

+ Để tính tan (-$37^o$25') ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Vậy tan (-$37^o$25') = –0,76501876.

b) Đổi 179°23'30" sang rađian ta thực hiện bấm phím như sau:

Vậy 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

c) Đổi $\frac{7}{9}$ rad sang độ ta thực hiện bấm phím như sau:

Vậy $\frac{7}{9}$ rad = 44°33'48,18".

4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản

a) Dựa vào định nghĩa của sinα và cosα, hãy tính $(sinα)^2$ + $(cosα)^2$

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của tanα, hãy tính 1+ $(tanα)^2$ 

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: sin α =y; cos α =x

Do đó, $(sinα)^2$ + $(cosα)^2$=$y^2$+$x^2$ 

Từ hình vẽ ta thấy $x^2$ + $y^2$=$R^2$=1 (định lý Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).

Vậy sin +cos =1.

b)  Dựa vào kết quả câu a, ta có:

tan α = $\frac{Sin\alpha }{Cos\alpha }$ => α = $(\frac{Sin\alpha }{Cos\alpha })^{2}$ ( α $\neq $ $\frac{\Pi }{2}$ + k$\Pi $ (k∈Z)

Do đó, 1+α =1+ $\frac{α}{α}$ = 1  

Vậy 1+α = $\frac{1}{α}$

Bài 2: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết cosα = $\frac{2}{3}$ và π<α<$\frac{3\Pi }{2}$

Hướng dẫn giải:

Vì: π<α<$\frac{3\Pi }{2}$ nên sin.sinα= -$\sqrt{1-α}$

=--$\sqrt{1-(-\frac{2}{3})^{2}}$ = -$\frac{\sqrt{5}}{3}$

=> tantanα = $\frac{sinsinα}{coscosα}$= $\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

và cotcotα= $\frac{1}{tantanα}$ = $\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{2}$

Bài 3: Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa: cos(– α) và cos α; sin (– α) và sin α.

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: tan (– α) và tan α; cot (– α) và cot α.

Hướng dẫn giải:

a) Nhận xét: Hai điểm M và N đối xứng nhau qua hệ trục Oxy.

Suy ra sin α =-sin (-α) hay sin (-α) =-sin α .

b) Ta có: 

tan (- α) = $\frac{sin(-\alpha )}{cos(-\alpha )}$ = $-\frac{-sin(-\alpha )}{cos(-\alpha )}$= -tanα

cot(- α) = $\frac{cos(-\alpha )}{sin(-\alpha )}$= $\frac{cos\alpha }{-sin\alpha}$ = - cotα

Vậy tan (- α) = -tan ( α)

cot(- α) = - cot ( α)

Bài 4: Tính

a) $sin(-675^{o})$

b) tan$\frac{15\Pi }{4}$ 

Hướng dẫn giải:

a) $sin(-675^{o})$

=sin($45^o$ - 2.$360^o$)

= sin( $45^o$) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) tan$\frac{15\Pi }{4}$ 

=tan($\frac{-\Pi }{4}$ +4$\Pi $) 

= - tan$\frac{\Pi }{4}$ = -1

Bài 5: Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

B(t)=80+ $7sin\frac{\Pi t}{2}$

trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimet thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng

b) 10 giờ 30 phút sáng

c) 12 giờ trưa

d) 8 giờ tối

Hướng dẫn giải:

a) t = 6, B(t)=80+7$sin\frac{6\Pi }{2}$=80+$7sin\frac{\Pi t}{2}$=87 (mmHg)

b) t = 10.5, B(t)=80+7$sin\frac{10.5\Pi }{2}$=82.6788 (mmHg)

c) t = 12, B(t)=80+7$sin\frac{12\Pi }{2}$=80+7sinπ=80 (mmHg)

d) t = 20, B(t)=80+7$7sin\frac{20\Pi }{2}$=80+7$sin\frac{5\Pi }{3}$=73.9378 (mmHg)

BÀI TẬP

Bài tập 1.1: Hoàn thành bảng sau:

Hướng dẫn giải:

Bài tập 1.2: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) $\frac{\Pi }{12}$

b) 1.5

c) $35^∘$

d) $315^∘$

Hướng dẫn giải:

a) Độ dài cung đường tròn: l=20×$\frac{\Pi }{12}$=5.236 (cm)

b) Độ dài cung đường tròn: l=20×1.5=30 (cm)

c) Đổi $35^∘$=$\frac{7\Pi }{36}$

Độ dài cung đường tròn: l=20×$\frac{7\Pi }{36}$=12.2173 (cm)

d) Đổi $315^∘$=$\frac{7\Pi }{4}$

Độ dài cung đường tròn: l=20×$\frac{7\Pi }{4}$=109.9557 (cm)

Bài tập 1.3: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{2\Pi }{3}$

b) −$\frac{11\Pi }{4}$

c) $150^o$

d) $315^o$

Hướng dẫn giải:

a) Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{2\Pi }{3}$

b) Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng −$\frac{11\Pi }{4}$ = -($\frac{3\Pi }{4}$+2$\Pi $)

C) $150^∘$

d) Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng –225°:

Bài tập 1.4: Tính các giá trị lượng giác góc α, biết.

a) cosα=$\frac{1}{5}$ và 0<α<$\frac{\Pi }{2}$

b) sinα=$\frac{2}{3}$ và π2<α<π

c) tanα=$\sqrt{-5}$ và π<α<$\frac{3\Pi }{2}$

d) cotα= $-\frac{1}{\sqrt{2}} $ và $\frac{3\Pi }{2}< \alpha < 2\Pi $

Hướng dẫn giải:

a) Vì 0<α<$\frac{\Pi }{2}$ nên sin >0

Mặt khác, từ $sin ^{2}\alpha $ + $cos ^{2}\alpha $ = 1 

Suy ra sinα = $\sqrt{1-\frac{1}{25}}$ = $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Do đó, tanα = $\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$ = $\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}$ = $2\sqrt{6}$

và cotα = $\frac{1}{tan\alpha }$ = $\frac{1}{2\sqrt{6}}$

b)

Vì $\frac{\Pi }{2}< \alpha < \Pi $ nên cosα<0

Mặt khác: từ $sin ^{2}\alpha $ + $cos ^{2}\alpha $ = 1 

suy ra 

cosα= $-\sqrt{1-sin^{2}\alpha }$ = $-\sqrt{1-\frac{4}{9}}$ = $-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Do đó,

tanα= $\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$

= $\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}$

= $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và cotα = $\frac{1}{tan\alpha }$ = $\frac{-\sqrt{5}}{2}$

c) cotα = $\frac{1}{tan\alpha }$ = $\frac{1}{2-\sqrt{5}}$

Vì $\Pi < \alpha < \frac{3\Pi }{2}$ nên cosα<0, sinα<0

Mặt khắc, từ 1 + $tan^{2}\alpha $ = $\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ 

Suy ra cosα= - $\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}$ = $\frac{1}{\sqrt{6}}$

Từ 1 + $cot^{2}\alpha $ = $\frac{1}{sin^{2}\alpha }$  suy ra sinα= -$\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}$ = $-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{5}}}$ = $\frac{\sqrt{30}}{6}$

d) tanα= $\frac{1}{cot\alpha }$= -$\sqrt{2}$

Vì $\frac{3\Pi }{2}< \alpha < 2\Pi $ nên cosα>0,sinα<0

Mặt khác, từ 1 + $tan^{2}\alpha $ = $\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ suy ra cosα = $\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}$ = $\sqrt{\frac{1}{1+2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Từ 1+ $cot^{2}\alpha $

= $\frac{1}{sin^{2}\alpha }$ suy ra sinα

= -$\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}$

= -$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$ = -$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bài tập 1.5: Chứng minh các đẳng thức:

a) $cos^{4}\alpha $ - $sin^{4}\alpha $ = 2$cos^{2}\alpha $ - 1

b) $\frac{cos^{2}\alpha + tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }$ = $tan^{2}\alpha $

Hướng dẫn giải:

 a) $cos^{4}\alpha $ - $sin^{4}\alpha $ = 2$cos^{2}\alpha $ - 1

$cos^{4}\alpha $ - $sin^{4}\alpha $ 

=$(cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha )$ x $(cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )$

=1 x $(cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )$

= $cos^{2}\alpha $ - (-1-$sin^{2}\alpha $)

= $2cos^{2}\alpha$ - 1

b) $\frac{cos^{2}\alpha + tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }$ = $tan^{2}\alpha $

$\frac{cos^{2}\alpha + tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }$  

= $\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }$ + $\frac{tan^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }$ - $\frac{1 }{sin^{2}\alpha }$

=$cot^{2}\alpha$ + $\frac{\frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}{sin^{2}\alpha}$ -(1+$cot^{2}\alpha$)

= $\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ -1 = $tan^{2}\alpha $

Bài tập 1.6: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680mm

Hướng dẫn giải:

 a) 1 giây bánh xe quay được số vòng là: 

11:5= $\frac{11}{5}$ (vòng)

Góc mà bánh xe quay được trong 1 giây: $\frac{11}{5}$ x $360^o$ = $792^o$ = 4.4π(rad)

b)  Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 1 phút bánh xe quay được 60×$\frac{11}{5}$=132 vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là: C = 680π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là

680π×132=89760π (mm) = 89,76π (m).