Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 2: Cấp số cộng

1. CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau...

Đáp án:

Trong cùng một dãy số, số liền sau bằng tổng của số liền trước với một số không đổi.

Bài 2: Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai...

Đáp án:

a) Dãy số trên là cấp số cộng với d = 4.

b) $u_{n+1}=9(n+1)-9=9n-9+9=u_{n}+9$

 ($u_{n}$) là cấp số cộng có d = 9

c) $v_{n+1}=a(n+1)-b=an-b+a=v_{n}+a$

 ($v_{n}$)  là cấp số cộng có d = a.

Bài 3: Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó

Đáp án:

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng và tổng là $180^{\circ}$, gọi 3 góc đó là:

$a+(a+d)+(a+2d)=180^{\circ}$

<=> $3a+3d=180^{\circ}$

<=> $a+d=60^{\circ}$ 

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng $90^{\circ}$

=> $a+2d=90^{\circ}$

Ta có: $a+d=60^{\circ}$ và $a+2d=90^{\circ}$ 

<=> $a=30^{\circ}$ và $d=30^{\circ}$

Vậy số đo 3 góc là $30^{\circ}; 60^{\circ}; 90^{\circ}$

Bài 4: Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều...

Đáp án:

Số ô trên các vòng là: $u_{1}=6; u_{2}=12; u_{3}=18$

Ta thấy $u_{n+1}=u_{n}+6$

Vậy các ô trên vòng tạo thành cấp số cộng có d = 6.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Cho cấp số cộng...

Đáp án:

$u_{2}-u_{1}=d$

$u_{3}-u_{1}=2d$

$u_{4}-u_{1}=3d$

.....

$u_{n}-u_{1}=(n-1)d$

Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau...

Đáp án:

a) $a_{n}=5+(n-1).(-5)=-5n+10$

b) $b_{10}=b_{1}+9d$ <=> $20=2+9d$ <=> $d=2$

=> Số hạng tổng quát: $b_{n}=2+(n-1).2=2n$

Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng...

Đáp án:

$c_{4}=c_{1}+3d$ <=> $c_{1}+3d=80$

$c_{6}=c_{1}+5d$ <=> $c_{1}+5d=40$

Ta có: $c_{1}+3d=80$ và $c_{1}+5d=40$ <=> $c_{1}=140$ và $d=-20$

=> $c_{n}=140+(n-1).(-20)=-20n+160$

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Cho cấp số cộng...

Đáp án:

a)

$u_{1}+u_{n}=u_{1}+u_{1}+(n-1)d=2u_{1}+(n-1)d$

$u_{2}+u_{n-1}=u_{1}+d+u_{1}+(n-2)d=2u_{1}+(n-1)d$

$u_{3}+u_{n-2}=u_{1}+2d+u_{1}+(n-3)d=2u_{1}+(n-1)d$

….

$u_{k}+u_{n-k+1}=2u_{1}+(n-1)d$

b) $2(u_{1}+u_{2}+...+u_{n})=n(2u_{1}+(n-1)d) $

<=> $2(u_{1}+u_{2}+...+u_{n})=n(u_{1}+u_{n}) $

Bài 2:

a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên...

Đáp án:

a) $S_{50}=\frac{50[2.0+(50-1).2]}{2}=2450$

b) $u_{3}+u_{28}=u_{1}+2d+u_{1}+27d=u_{1}+u_{1}+29d=u_{1}+u_{30}=100$

=> $S_{30}=\frac{n(u_{1}+u_{30})}{2}=\frac{30.100}{2}=1500$

c) $S_{6}=\frac{6(2u_{1}+5d)}{2}=18$

<=> $2u_{1}+5d=6$

$S_{10}=\frac{10(2u_{1}+9d)}{2}=110$

<=> $2u_{1}+9d=22$

=> $2u_{1}+5d=6$

Và $2u_{1}+9d=22$ 

<=> $u_{1}=-7$

Và $d=4$

=> $S_{20}=\frac{20(2u_{1}+19d)}{2}=620$

Bài 3: Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp...

Đáp án:

$u_{1}=17; u_{2}=20; u_{3}=23$

=> d = 3 và $u_{n}=17+(n-1).3=3n+14$

a) $u_{20}=3.20+14=74$ (ghế)

b) $S_{20}=20.\frac{17+74}{2}=910$ (ghế)

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Chứng minh dãy số hữu hạn...

Đáp án:

Ta có: -3 = 1 + (-4); -7 = (-3) + (-4);...

Mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với (-4) nên dãy số 1; -3; -7; -11; -15 là một cấp số cộng với công sai d = -4

Bài 2: Cho $(u_{n})$ là cấp số cộng với số hạng...

Đáp án:

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d=4+(n-1)(-10)=14-10n$

Bài 3: Cho cấp số cộng...

Đáp án:

a) $u_{12}=u_{1}+11d=19$

b) Ta có: $u_{n}=-3+2(n-1)=195$

=> n=100.

Vậy 195 là $u_{100}$

Bài 4: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng...

Đáp án:

a) ($u_{n}$) là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=-1$ và công sai d=-4.

b) ($u_{n}$) là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=-\frac{7}{2}$ và công sai d=12.

c) ($u_{n}$) không phải là cấp số cộng

Vì  $u_{2}-u_{1} \neq u_{3}-u_{2}$

d) ($u_{n}$) là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=\frac{4}{3}$ và công sai $d=-\frac{5}{3}$

Bài 5: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số...

Đáp án:

a) $u_{3}-u_{1}=20$ và $u_{2}+u_{5}=54$

<=> $u_{1}+2d-u_{1}=20$ và $u_{1}+d+u_{1}+4d=54$ 

<=> $2d=20$ và $2u_{1}+5d=54$

<=> $d=10$ và $u_{1}=2$ 

b) $u_{2}+u_{3}=0$ và $u_{2}+u_{5}=80$

<=> $u_{1}+d+u_{1}+2d=0$ và $u_{1}+d+u_{1}+4d=80$ 

<=> $2u_{1}+3d=0$ và $2u_{1}+5d=80$

<=> $d=40$ và $u_{1}=-60$ 

c) $u_{5}-u_{2}=3$ và $u_{8}.u_{3}=24$

<=> $u_{1}+4d - u_{1}-d=3$ và $(u_{1}+7d)(u_{1}+2d)=24$ 

<=> $3d=3$ và $(u_{1}+7d)(u_{1}+2d)=24$ 

<=> $d=1$ và $(u_{1})^{2}+9u_{1}-10=0$

<=> $d=1$ và $u_{1}=1$ hoặc $u_{1}=-10$ 

Bài 6: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra...

Đáp án:

a) Chiều dài các thanh ngang của cái thang (tính từ bậc dưới cùng) tạo thành một cấp số cộng có: $u_{1}=45; d=-2$, số hạng cuối $u_{n}=31$

$u_{n}=u_{1}+(n-1) = 31$

=> $n=\frac{45-31}{2}+1=8$

Vậy cái thang có 8 bậc.

b) Chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua là:

$S_{8}=\frac{8(45+31)}{2}=304$ cm.

Bài 7: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay...

Đáp án:

a) d=48-16=80-48=32

b) Tổng chiều dài quãng đường trong 10s đầu tiên là:

 $S_{10}=\frac{10(2.16+9.32)}{2}=1600$ (feet).

Bài 8: Ở một loài thực vật lưỡng bột, tính trạng chiều cao cây...

Đáp án:

Chiều cao của các cây có số alen trội từ 0 đến 4 tạo thành 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng với $u_{1}=100$ và d=5

=> $u_{5}=100+4.5=120$