Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. TRUNG VỊ

Bài 1:

a) Sử dụng biểu đồ ở Mở đầu, hoàn thiện bảng thống kê sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) 

b) Nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên đội Sao La là [180; 185).

Nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên đội Kim Ngưu là [185;190).

Bài 2: Hãy trả lời câu hỏi ở Mở đầu

Hướng dẫn trả lời:

+) Chiều cao trung bình của thành viên đội Sao La là:

$\bar{x}=\frac{172,5.2+177,5.4+182,5.5+187,5.5+192,5.4}{20}=183,75$ (m)

Nhóm chứa số trung vị của đội Sao La là [180;185)

Ta có: n=20; n_m=5, C=2+4=6; u_m=180; u_m+1=185

Trung vị của chiều cao đội Sao La là:

$M_{e}=180+\frac{\frac{20}{6}-6}{5}.(185-180)=184$ (m) 

+) Chiều cao trung bình của thành viên đội Kim Ngưu là:

$\bar{x}=\frac{172,5.2+177,5.3+182,5.4+187,5.10+192,5.1}{20}=183,75$ (m)

Nhóm chứa số trung vị của đội Kim Ngưu là [185;190)

Ta có: n=20; n_m=10; C=2+3+4=9; u_m=185; u_m+1=190

Trung vị của chiều cao đội Kim Ngưu là:

$M_{e}=185+\frac{\frac{20}{2}-9}{10}.(190-185)=185,5$ (m) 

Vậy theo trung vị chiều cao của thành viên đội Kim Ngưu cao hơn thành viên đội Sao La.

Bài 3: Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m...

Hướng dẫn trả lời:

Số vận động viên tham gia chạy là: n = 124 

Gọi x₁;x₂;x₃;...;x₁₂₄ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{62}+x_{63})$ ∈ [22,5;23)

Ta có: n=124; n_m=45; C=5+12+32=49; u_m=22,5; u_m+1=23

Trung vị của thời gian chạy của các vận động viên là:

$M_{e}=22,5+\frac{\frac{124}{2}-49}{45}.(23-22,5) \approx 22,64$

Vậy ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không vượt quá 22,64 giây.

2. TỨ TRUNG VỊ

Bài 1: Thời gian luyện tập trong một ngày...

Hướng dẫn trả lời:

Số vận động viên được khảo sát là: n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39.

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₉ là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; x₂; x₃ ∈ [0; 2), x₄; ...; x₁₁ ∈ [2; 4), x₁₂; ...; x₂₃ ∈ [4; 6), x₂₄; ...; x₃₅ ∈ [6; 8), x₃₆; ...; x₃₉ ∈ [8; 10).

Do đó đối với dãy số liệu x₁; x₂; ...; x₃₉ thì:

- Tứ phân vị thứ nhất là x₁₀ thuộc nhóm [2; 4);

- Tứ phân vị thứ hai là x₂₀ thuộc nhóm [4; 6);

- Tứ phân vị thứ ba là x₃₀ thuộc nhóm [6; 8).

Vậy huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ x30 (giờ) trở lên.

Bài 2: Một người thống kê lại thời gian thực hiện...

Hướng dẫn trả lời:

Tổng số cuộc gọi điện thoại là: 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33 (cuộc gọi).

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₃ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x₁; x₂; ...; x₃₃ là x₁₇∈[60;120). Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là 

$Q_{2}=60+\frac{\frac{32}{2}-8}{10}.(120-60)=111$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂; ...; x₃₃ là $\frac{1}{2}(x_{8}+x_{9})$ với x₈ ∈ [0;60) và x₉ ∈ [60;120) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là Q₁=60.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x₁; x₂; ...; x₃₃ là $\frac{1}{2}(x_{25}+x_{26})$ với x₂₅ ∈ [120;180) và x₂₆ ∈ [180;240) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là Q₃=180.

Bài 3: Một phòng khám thống kê số bệnh nhân đến khám...

Hướng dẫn trả lời:

Hiệu chỉnh lại bảng tần số ghép nhóm như sau:

a) Tổng số số ngày có bệnh nhân đến khám là: 7 + 8 + 7 + 6 + 2 = 30.

Gọi $x_{1}; x_{2};...x_{30}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tư không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...x_{30}$ là $\frac{1}{2}(x_{15}+x_{16})$ với x15 ∈ [10,5;20,5) và x16∈[20,5;30,5). Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là Q2=20,5.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...x_{30}$ là x8 ∈ [10,5;20,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_{1}=\frac{89}{8}=11,125$.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...x_{30}$ là x23 ∈ [30,5;40,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_{3}=\frac{94}{3} \approx 31,3$.

b) Do Q3=31,3<35 nên nhận định của quản lí phòng khám là chưa hợp lí.

3. BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài 1: Lương tháng của một số nhân viên văn...

Hướng dẫn trả lời:

a) Cỡ mẫu n=24.

Sắp xếp lại, ta được:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1}=\frac{1}{2}(8,9+9,2)=9,05$

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_{2}=\frac{1}{2}(10,7+10,9)=10,8$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3}=\frac{1}{2}(12,2+12,5)=12,35$

b)

c) Tổng số nhân viên văn phòng là: n = 3 + 6 + 8 + 7 = 24 (nhân viên)

Gọi $x_{1}; x_{2};...;x_{24}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{24}$ là  $\frac{1}{2}(x_{12}+x_{13})$ ∈[10;12). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là 

$Q_{2}=10+\frac{\frac{24}{2}-9}{8}.(12-10)=10,75$.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu$x_{1}; x_{2};...;x_{24}$ là $\frac{1}{2}(x_{6}+x_{7}) $∈[8;10). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là 

$Q_{1}=8+\frac{\frac{24}{4}-3}{6}.(10-8)=9$.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{24}$ là $\frac{1}{2}(x_{18}+x_{19})$ ∈[12;14). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là 

$Q_{3}=12+\frac{\frac{72}{4}-17}{7}.(14-12) =\frac{87}{6}\approx 12,3$.

Bài 2: Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được...

Hướng dẫn trả lời:

a) Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 ta được: Q1=11

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 ta được: Q2=14

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 15 và 16 ta được: Q3=21,5.

b) 

c) Ta hiệu chỉnh lại bảng dữ liệu như sau:

Gọi $x_{1}; x_{2};...;x_{20}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. 

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{20}$0 là $\frac{1}{2}(x_{12}+x_{11})$. Do x10 và x11 thuộc [10,5;15,5) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là Q2=14,25.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{20}$ là $\frac{1}{2}(x_{5}+x_{6})$. Do x5 và x6 thuộc [10,5;15,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là Q1=11,125.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{20}$ là $\frac{1}{2}(x_{15}+x_{16})$. Do x15 và x16 thuộc [20,5;25,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_{3}\frac{64}{3} \approx 21,3$

Bài 3: Kiểm tra điện lượng của một số viên pin... 

Hướng dẫn trả lời:

Từ bảng số liệu ghép nhóm, ta có bảng thống kê điện lượng của một số viên pin tiểu theo giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu n=85.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x}=\frac{10.0,925+20.0,975+35.1,025+15.1,075+5.1,125}{85}\approx 1,016$ (mAh)

Khoảng chứa mốt của mẫu số liệu trên là [1,0;1,05).

Do đó: um=1,0; nm=35; nm-1=20; nm+1=15; um+1=1,05.

Mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm là 

$M_{0}=1+\frac{35-20}{(35-20)+(35-15}.(1,05-1)\approx 1,021$ (mAh)

Gọi $x_{1}; x_{2};...;x_{85}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{85}$ là x43∈[1,0;1,05) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là 

$Q_{2}=1+\frac{\frac{2.85}{4}-30}{35}.(1,05-1) \approx 1,018$.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{85}$ là $\frac{1}{2}(x_{21}+x_{22})$. Do x21 và x22 thuộc nhóm [0,95;1,0) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{1}=0,95+\frac{\frac{1.85}{4}-10}{20}.(1-0,95) \approx 0,978$.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{85}$ là $\frac{1}{2}(x_{64}+x_{65})$. Do x64 và x65 thuộc nhóm [1,0;1,05) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{3}=1+\frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}.(1,05-1) \approx 1,048$.\

Bài 4: Cân nặng của một con lợn con mới sinh thuộc...

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta lập được bảng số liệu ghép nhóm như sau:

• Đối với lợn con mới sinh giống A :

Cỡ mẫu n_A=85.

Cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

$\bar{x}_{A}=\frac{8⋅1,05+28⋅1,15+32⋅1,25+17⋅1,35}{85}\approx 1,218$ (kg)

Trung vị thuộc khoảng [1,2;1,3). Do đó: um=1,2; um+1=1,3; nm=32; C=36.

Vậy trung vị của cân nặng lợn con mới sinh giống A là:

$M_{e}(A)=1,2+\frac{\frac{85}{2}-36}{32}.(1,3-1,2)=\frac{781}{640}$

• Đối với lợn con mới sinh giống B :

Cỡ mẫu n=65. 

Cân nặng trung bình là $\bar{x}_{B}=1,21$ kg và trung vị là Me(B)=$\frac{587}{480}$ kg.

Ta có: 1,218>1,21 nên $\bar{x}_{A}>\bar{x}_{B}$,$\frac{781}{640}<\frac{587}{480}$ nên Me(A)<Me(B).

Nếu so sánh theo số trung bình thì cân nặng của lợn con mới sinh giống A lớn hơn giống B. Nếu so sánh theo trung vị thì cân nặng của lợn mới sinh giống A nhỏ hơn giống B.

b)

• Giống A :

Gọi $x_{1}; x_{2};...;x_{85}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂; ...; x₈₅ là $\frac{1}{2}(x_{21}+x_{22})$

Do x₂₁ và x₂₂ thuộc nhóm [1,1;1,2) nên $Q_{1}(A)=1,1+\frac{\frac{1.85}{4}-8}{28}.(1,2-1,1) \approx 1,15$.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_{1}; x_{2};...;x_{85}$ là $\frac{1}{2}(x_{64}+x_{65})$

Do x₆₄ và x₆₅ thuộc nhóm [1,2;1,3) 

=> $Q_{3}(A)=1,2+\frac{\frac{3.85}{4}-36}{32}.(1,3-1,2) \approx 1,29$.

• Giống B :

Gọi $y_{1}; y_{2};...;y_{65}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{3}=\frac{1}{2}(y_{16}+x_{17})$. Do y₁₆ và y₁₇ thuộc nhóm [1,1;1,2) nên $Q_{1}(B)=1,1+\frac{\frac{1.65}{4}-8}{13}.(1,2-1,1) \approx 1,123$.

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}=\frac{1}{2}(y_{49}+y_{50})$. Do y₄₉ và y₅₀ thuộc nhóm [1,2;1,3) 

=> $Q_{3}(B)=1,2+\frac{\frac{3.65}{4}-27}{24}.(1,3-1,2) \approx 1,29$.