Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 3: Cấp số nhân

1. CẤP SỐ NHÂN

Bài 1:

a) Tìm thương của hai số hạng liên tiếp...

Đáp án:

a) Thương 2 số hạng liên tiếp là: $\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=...= 2$

b) Điểm giống nhau: Trong mỗi dãy số, mỗi số hạng sau đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi.

Bài 2: Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng...

Đáp án:

Vì 3 số m, n, p theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Gọi d là công sai của dãy số.

Ta có: n = m + d, p = n + d

Hay $2^{n}=2^{m+d}=2^{m}.2^{d}$ và $2^{p}=2^{n+d}=2^{n}.2^{d}$

Vậy $2^{m}, 2^{n}, 2^{p}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là $2^{d}$.

Bài 3: Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người...

Đáp án:

$u_{1}=P$

$u_{2}=P+\frac{a}{100}P=P(1+\frac{a}{100})=u_{1}.(1+\frac{a}{100})$

$u_{3}=P(1+\frac{a}{100})2=u_{2}.(1+\frac{a}{100})$

.....

$u_{n+1}=u_{n}(1+\frac{a}{100})$

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có $q=1+\frac{a}{100}$

Bài 4: Tần số của ba phím liên tiếp...

Đáp án:

Do tần số của ba phím Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là: $a, aq, aq^{2}$

Ta có: a=415 và $aq^{2}=466$ => q=1,06

=> aq=415.1,06=440

Vậy phím La có tần số là 440 Hz.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: Cho cấp số nhân...

Đáp án:

$u_{2}=u_{1}.q; u_{3}=u_{1}.q^{2}; u_{4}=u_{1}.q^{3}; u_{10}=u_{1}.q^{9}$

Bài 2: Viết công thức số hạng tổng...

Đáp án:

a) Cấp số nhân có $u_{1}=5, q=2$

$u_{n}=5.2^{n-1}$

b) Cấp số nhân có $u_{1}=1, q=\frac{1}{10}$

 $u_{n}=1.(\frac{1}{10})^{n-1}$

Bài 3: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng...

Đáp án:

Dãy số chỉ khối lượng còn lại sau n chu kì là một cấp số nhân có $u_{1}=20, q=\frac{1}{2}$

a) Sau 690 ngày, số chu kì bán rã thực hiện được là: 690 : 138 = 5 (chu kì)

Khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: $u_{5} =20.(\frac{1}{2})^{4}=1,25$ (g);

b) Sau 7314 ngày, số chu kì bán rã thực hiện được là: 7314 : 138 = 53 (chu kì)

Khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: $u_{52}=20.(\frac{1}{2})^{52}\approx 4,44.10^{-15}$ (g).

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: Cho cấp số nhân...

Đáp án:

a) $q.S_{n}=u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+....+u_{1}.q^{n}$

$(u_{2}+…+u_{n})+q.u_{n}=u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+....+u_{1}.q^{n-1}+u_{1}.q^{n}$

Vậy $q.S_{n}=(u_{2}+…+u_{n})+q.u_{n}$

b) $u_{1}+q.S_{n}=u_{1}+(u_{2}+…+u_{n})+q.u_{n}=(u_{1}+u_{2}+..+u_{n})+q.u_{n}=S_{n}+u_{1}.q^{n}$

Vậy $u_{1}+q.S_{n}=S_{n}+u_{1}.q_{n}$

Bài 2: Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân...

Đáp án:

a) Dãy số trên là một cấp số nhân có $u_{1}=10^{5}$, q=0,1

$S_{5}=\frac{u_{1}(1 – q^{5})}{1 – q} = 111110$

b) Dãy số trên là một cấp số nhân có $u_{1}=10, q=-2$

$S_{5}=\frac{u_{1}(1 – q^{5})}{1 – q} = 110$

Bài 3: Trong bài toán ở mở đầu bài học...

Đáp án:

Dãy số chỉ độ cao quả bóng là một cấp số nhân có: $u_{1}=120; q=\frac{1}{2}$

$S_{10}=\frac{120.(1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}=239,8$

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân...

Đáp án:

a) ($u_{n}$) là một cấp số nhân với $u_{1}=-6 và q=-2$

b) ($u_{n}$) là một cấp số nhân với $u_{1}=7 và q=-7$

c) Ta có: $u_{1}=1; u_{2}=5; u_{3}=13$

Vì $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên ($u_{n}$) không phải là cấp số nhân.

Bài 2: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân...

Đáp án:

a) $u_{5}-u_{1}=15$ và $u_{4}-u_{2}=6$

<=> $u_{1}q^{4} - u_{1}=15$ và $u_{1}q^{3} - u_{1}.q=6$

<=> $u_{1}(q^{4}-1)=15$ và $u_{1}q(q^{2}-1)=6$ 

<=> $u_{1}(q^{4}-1)=15$ và $\frac{q^{4}-1}{q(q^{2}-1)}=\frac{15}{6}$

<=> $u_{1}=\frac{15}{q^{4}-1}$ và $2q^{2}-5q+2=0$ 

<=> $q=2$ và $u_{1}=1$  hoặc $q=\frac{1}{2}$ và $u_{1}=-16$ 

b) $u_{1}-u_{3}+u_{5}=65$ và $u_{1}+u_{7}=325$

<=> $u_{1}(1-q^{2}+q^{4})=65$ và $u_{1}(1+q^{6})=325$  

<=> $u_{1}(1+q^{6})=325$ và $\frac{1+q^{6}}{1-q^{2}+q^{4}}=\frac{325}{65}$

<=> $u_{1}=\frac{325}{1+q^{6}}$ và $1+q^{2}=5$

<=> $q=2$ và $u_{1}=5$ hoặc $q=-2$ và $u_{1}=5$ 

Bài 3:

a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân...

Đáp án:

a) Gọi số đo bốn góc của tứ giác lập thành cấp số nhân là $u_{1}; u_{2}; u_{3}; u_{4}$. Ta có:

$u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=360$ và $u_{4}=8u_{1}$  

<=> $u_{1}=\frac{360}{1+q+q^{2}+q^{3}}$

và $q^{3}=8$ 

<=> $u_{1}+u_{1}q+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}=360$ và $u_{1}q^{3}=8u_{1}$

<=> $u_{1}=24$ và $q=2$

Vậy số đo bốn góc của tứ giác là $24^{\circ}$; $48^{\circ}$; $96^{\circ}$; $192^{\circ}$

b) Dãy số là một cấp số nhân với $u_{1}=-2; q=-2$.

Vậy sáu số cần tìm là: 4; -8; 16; -32; 64; -128.

=> $u_{15}= -32768$

Bài 4: Ba số...

Đáp án:

$\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ lập thành cấp số cộng

=> $\frac{2}{b-a}+\frac{2}{b-c}=\frac{2}{b}$

=> $\frac{2b-a-c}{(b-a)(b-c)}=\frac{1}{b}$

=> $b(2b-a-c)=(b-a)(b-c)$

=> $b^{2}=ac$

Vậy a, b, c lập thành cấp số nhân.

Bài 5: Tính các tổng sau...

Đáp án:

a) Đây là cấp số nhân có $u_{1}=1; q=\frac{1}{3}$

=> $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+…+\frac{1}{3^{n}}=\frac{1.(1-\frac{1}{3^{n+1}})}{1-\frac{1}{3}}=\frac{(3^{n+1}-3)}{2.3^{n}}$

b) Đây là cấp số nhân có $u_{1}=10; q=10$

$S_{n}=9+99+999+…+99….9$ (n số 9)  

= $(10^{1}-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+…+(10^{n}-1)$  

= $10^{1}+10^{2}+10^{3}+…+10^{n}-(1+1+1+…+1)$

= $\frac{10(1-10^{n})}{1-10}-n=\frac{10^{n+1}-10}{9}-n$

Bài 6: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm...

Đáp án:

Số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm sau n phút là một cấp số nhân có $u_{1}=1;q=2$

Số lượng vi khuẩn sau 20 phút là: $u_{21}=1.2^{20}=1048576$

Bài 7: Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng...

Đáp án:

a) Đây là cấp số nhân có $u_{1}=2,1; q=1+\frac{0,75}{100}$

 Dân số của thành phố vào năm 2023 là:

$2,1(1+0,75%)^{10}\approx 2,26$ (triệu người)

b) Khi $u_{n}=2.u_{2022}$

<=> $1,0075^{n-2022}=2$

<=> n=2115

Vậy đến năm 2115, dân số thành phố gấp đôi so với năm 2022

Bài 8: Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee...

Đáp án:

a) $u_{3}=9.(0,6)^{2}=3,24$ (m).

b) $S_{5}=\frac{9.(1-0,6^{5})}{1-0,6}\approx 20,75$ (m).