Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo...

Hướng dẫn trả lời:

a) Với mỗi số thực t, góc lượng giác t rad được biểu diễn bởi một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác. Với mỗi điểm M xác định, ta cũng chỉ có 1 tung độ và hoành độ duy nhất.

Do đó xác định duy nhất giá trị sin⁡t và cos⁡t.

b) Nếu $t\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z$ thì cos⁡t ≠ 0. Ta có: $tant=\frac{sint}{cost}$

Nếu $t\neq \pi+k\pi, k\in Z$  thì sin⁡t≠0. Ta có: $cott=\frac{cost}{sint}$

Như vậy y=sin⁡t,y=cos⁡t,y=tan⁡t và y=cot⁡t là các hàm số.

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

Bài 1: Xét hai hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta thấy: y(-1)=y(1) và y(-2)=y(2). 

Đồ thị hàm số $y=x^{2}$ đối xứng qua trục Oy. 

Nhận xét: Điều này có được vì giá trị $y=x^{2}$ tại x và -x là bằng nhau $∀x \in R$.

b) Ta thấy: y(-1)=-y(1) và y(-2)=-y(2). 

Đồ thị hàm số y=2x đối xúng qua gốc tọa độ O. 

Nhận xét: Điều này có được vì giá trị y=2x tại x và -x là đối nhau $∀x \in R$.

Bài 2: Chứng minh rằng hàm...

Hướng dẫn trả lời:

+) Hàm số y=sin⁡x có tập xác định D = R. 

$∀x \in R$ thì $-x\in R$ và sin⁡(-x)=-sin⁡x.

=> y=sin⁡x là hàm số lẻ.

+) Hàm số y=cot⁡x có tập xác định D = R∖{kπ∣k $\in$ Z). 

$∀x \in kπ $,$k \in Z$ thì -x≠-kπ, $k\in Z$ và cot⁡(-x)=-cot⁡x. 

=> y=cot⁡x là hàm số lẻ.

Bài 3: Hãy chỉ ra một số thực...

Hướng dẫn trả lời:

$T = 2\pi$ hoặc một bội bất kì của $2\pi$. Như vậy giá trị của hàm số sin lặp lại trên từng đoạn có độ dài $2\pi$.

Bài 4: Xét tính tuần hoàn của...

Hướng dẫn trả lời:

+) Hàm số y=cos⁡x (D = R)

Đây là hàm số tuần hoàn vì $∀x \in R$ ta có $x+2\pi \in R$ và $cos⁡(x+2\pi)=cos⁡x$.

+) Hàm số y=cot⁡x (D = R∖{kπ∣ $k \in Z$)

Đây là hàm số tuần hoàn vì với mọi $x \in R$∖${kπ∣k \in Z}$ ta có $x+\pi \in R$∖${kπ∣k \in Z}$ và $cot⁡(x+\pi)=cot⁡x$.

3. ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Hoàn thành bảng giá trị sau đây...

Hướng dẫn trả lời:

Bài 2: Hoàn thành bảng giá trị sau...

Hướng dẫn trả lời:

Hướng dẫn trả lời:

a) 

b) Xét trên đoạn [$-\frac{\pi}{2}$; $\pi$]

Tại điểm có hoành độ x=0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là y=1 .

c) Khi x∈ [$-\frac{\pi}{4}$;$\frac{\pi}{4}$] thì$ sin (x-\frac{\pi}{4})<0$.

Bài 4: Li độ s (cm) của một con lắc...

Hướng dẫn trả lời:

Trong 3 giây đầu, ta có 0≤t≤3, nên 0≤πt≤3. 

Đặt x=πt và từ đồ thị hàm số côsin, ta có đồ thị hàm s=2cos⁡x trên đoạn $[0;3\pi]$ như sau:

Ta thấy s đạt giá trị lớn nhất <=> x=0 hoặc $x=2\pi$. Khi đó t=0 hoặc t=2.

Bài 5: Hoàn thành bảng giá trị sau đây...

Hướng dẫn trả lời:

Bài 6: Hoàn thành bảng giá trị sau đây...

Hướng dẫn trả lời:

Bài 7: Cho hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

a) 

b) 

Ta thấy đồ thị hàm số y=cot x  cắt đường thẳng y=2 tại hai điểm phân biệt. Do đó, có hai giá trị x mà tại đó giá trị hàm số bằng 2.

Bài 8: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng...

Hướng dẫn trả lời:

Điểm nằm cách xích đạo 20 cm có y=20 hoặc y=-20, nghĩa là $tantan(\frac{\pi}{180}\varphi )=1$ hoặc $tantan(\frac{\pi}{180}\varphi )=-1$

Vì $-90<\varphi <90$ nên $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{180}\varphi<\frac{\pi}{2}$.

Đặt $x=\frac{\pi}{180}\varphi$ và ta có đồ thị hàm số y=tan⁡x trên khoảng $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Ta thấy:

y=1 khi $x=\frac{\pi}{4}$ => $\varphi =45$;  y=-1 khi $x=-\frac{\pi}{4}$ => $\varphi =-45$.  

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Các hàm số dưới đây...

Hướng dẫn trả lời:

a) y=5x +1, tập xác định D = R. 

∀$x \in R$ thì $-x \in R$ và 5(-x) +1=5x +1 

=> Đây là hàm số chẵn

b) y=coscosx+sinsinx  , tập xác định D = R. 

∀$x \in R$ thì -$x \in R$và $coscos(-x)+sinsin(-x)  =coscos x-sinsin x $

=> Đây là hàm không chẵn, không lẻ

c) y=tan 2x , tập xác định là $D=R\{\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$, $k\in R$. 

∀$x \in D$ thì -$x \in D$ và 5(-x) +1=5x +1 

=> Đây là hàm số lẻ

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số xác định khi cos⁡x≠0 <=> $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$, $k \in Z$.

Tập xác định $D=R∖{\frac{\pi}{2}+k\pi | k \in Z}$.

b) Hàm số xác định khi $x +\frac{\pi}{4}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$, $k \in Z$ <=> $x\neq \frac{\pi}{4}+k\pi$; $k \in Z$

Tập xác định $D=R∖{\frac{\pi}{4}+k\pi | k \in Z}$.

c) Vì $0≤sin^{2}⁡x≤1$ ∀ $x \in R$, nên $2-sin^{2}⁡x\neq 0$ ∀ $x \in R$. 

Tập xác định D=R.

Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm...

Hướng dẫn trả lời:

∀ $x \in R$ có -1≤cos x≤1 => $2.(-1)+1≤2 cos x+1≤2.1+1$

Vậy tập giá trị của hàm số là [-1;3].

Bài 4: Dựa vào đồ thị của hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

Ta có đồ thị hàm số:

Trên đoạn $[-\pi;\pi]$, $sin⁡x=\frac{1}{2}$ => $x=\frac{\pi}{6}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{6}$.

Bài 5: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang...

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có v_x ∈ [-0,3;0,3] ∀ $\alpha \in R$. 

=> Giá trị lớn nhất của v_x là 0,3 m/s, giá trị nhỏ nhất của v_x là -0,3 m/s.

b) 

Vì v_x=0,3sin$\alpha$⁡ nên v_x tăng khi và chỉ khi sin⁡ tăng. 

Do đó, dựa vào đồ thị trên, vận tốc vx tăng <=> $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$.

Bài 6: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước...

Hướng dẫn trả lời:

a) 

Chiều cao của của gàu G với mặt nước là: $h(\alpha)=3+3sin⁡\alpha=3(1+sin\alpha⁡)$ 

b) Vận tốc góc của gàu là $\omega=\frac{2\pi}{30}=\frac{\pi}{15}$(rad/s).

Góc quay của gàu G là $\alpha=\omega t=\frac{\pi}{15}t$.

Trong 1 phút đầu, ta có 0≤t≤60 (giây) suy ra $0≤\alpha≤4\pi$.

Vì $h(\alpha)=1,5$ nên $sin\alpha⁡=-\frac{1}{2}$. 

Xét đồ thị hàm số $y=sin⁡\alpha$ trong đoạn $[0;4\pi]$ như hình, ta thấy có bốn giá trị thoả mãn là $\alpha \in {\frac{7\pi}{6};\frac{11\pi}{6};\frac{19\pi}{6};\frac{23\pi}{6}}$

Do đó t ∈ {17,5;27,5;47,5;57,5}.

Bài 7: Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao...

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét △AHT vuông tại H, có

TH = xH=AHcot⁡$\alpha$=500cot$\alpha$⁡⁡.

b) Dựa vào đồ thị hàm số y=cot$\alpha$⁡⁡, ta thấy 

$\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2\pi}{3}$ <=> $-\frac{\sqrt{3}}{3} <cot⁡\alpha<\sqrt{3}$ 

=> $-\frac{500\sqrt{3}}{3} <500cot\alpha⁡<500\sqrt{3}$ <=> -288,7<xH<866 (m).