Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST Bài tập cuối chương IV

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt...

Hướng dẫn trả lời:

Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên (MNO) cắt các mặt đối diện của hình hộp theo từng cặp giao tuyến song song.

Qua O vẽ đường thẳng PQ//DD' và cắt C'D' tại P, cắt DC tại Q.

=> mp(MNO) = mp(MNPQ)

Ta được các giao tuyến là MN,NP,PQ,QM.

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a...

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có (SAB) cắt hai mặt phẳng song song () và (SAD) theo hai giao tuyến song song SA và MQ. Tương tự, ta cũng có NP//SD,MN//AD.

Ta có BC//AD//MN 

=> giao tuyến của (SBC) và () là QP thoả mãn OP//BC//MN. 

Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SDC) ta có d đi qua S và d//AB//DC.

Gọi O là giao diểm của MQ và NP, ta có O thuộc d.

Tứ giác SOMA là hình bình hành => OM=SA=a. 

Tương tự ta có ON=a,MN=a.

△OMN là tam giác đều có cạnh bằng a,PQ//MN

=> MNPQ là hình thang cân.

b) Ta có $\frac{MQ}{SA}=\frac{BM}{BA}$ => $MQ=a-x$

=> $NP=MQ=a-x$.

Ta có △OMN và △OPQ là hai tam giác đều có cạnh là a và x, suy ra:

S△MNPQ=S△OMN-S△OPQ=$(a^{2}-x^{2})\frac{\sqrt{3}}{4}$

Bài 11: Cho mặt phẳng ($\alpha$) và hai đường thẳng chéo nhau a,b...

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có MN//($\alpha$), (MNCA) ∩ ($\alpha$) = AC thoả mãn MN//AC 

Xét tứ giác MNCA, có: 

MN//AC (cmt)

AM // NC

=> MNCA là hình bình hành.

b) Gọi b' là giao tuyến của mặt phẳng ($\alpha$) và mặt phẳng (P) đi qua b và song song với a. Ta có (P) cố định => b' cố định. 

Ta lại có NC//a => C thuộc (P). 

Do C là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và ($\alpha$) => C di động trên b'.

c) Ta có MN=AC, suy ra MN ngắn nhất khi và chỉ khi AC ngắn nhất. Vậy $AC \perp b'$.

Bài 12: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt...

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta có AO là đường trung tuyến của △ADB và $\frac{AM}{AO}=\frac{2AM}{AC}=\frac{2}{3}$

=> M là trọng tâm của △ABD. 

Tương tự, N là trọng tâm của △ABE.

Gọi I là trung điểm của AB thì M,N lần lượt thuộc DI,EI.

Xét △IDE có $\frac{IM}{ID}=\frac{IN}{IE}=\frac{1}{3}$ nên MN//DE.

b) Ta có $\frac{AM_{1}}{AD}=\frac{2AM}{AC}=\frac{1}{3}=\frac{BN}{BF}=\frac{AN_{1}}{AF}$

=> M₁N₁//DF mà DF ⊂ (DEF)

Vậy M₁N₁//(DEF);

c) Ta có M₁N₁//DF, MM₁//AB//EF

Mà DE, DF ⊂ (DEF) và MN, M₁N₁ ⊂ (MNN₁M₁); DE ∩ DF = E

=> MNN₁M₁//(DEF).