Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 17: Hàm số liên tục

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Bài 1: Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm...

Hướng dẫn giải:

f(x) = $\frac{x^{2}-1}{x-1}$=$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$=(x+1) =2 

Vậy f(x) =f(1) = 2

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số...

Hướng dẫn giải:

f(x) =(-x) =0 

f(x) =$x^{2}$ =0 

f(0)=0 

Vậy hàm số liên tục tại 0.

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Bài 1: Cho hai hàm số...

Hướng dẫn giải:

+) Hàm số f(x) xác định trên 0;1, do đó x=$\frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

f(x) =1 =1 

f(x) =2x =1

f(x) =f($\frac{1}{2}$)= 1

Vậy f(x) liên tục tại x=$\frac{1}{2}$

+) Hàm số g(x) xác định trên 0;1, do đó x=$\frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

g(x) =x =$\frac{1}{2}$

gx =1 =1 

=> g(x) $\neq $ g(x)

Vậy g(x) gián đoạn tại x=$\frac{1}{2}$

+) Đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [0;1], còn đồ thị của hàm số y=g(x) bị gián đoạn tại x=$\frac{1}{2}$

Bài 2: Tìm các khoảng trên đó hàm số...

Hướng dẫn giải:

Ta thấy hàm số f(x) là một hàm phân thức hữu tỉ. Vậy hàm số này liên tục trên các khoảng tập xác định của chúng: (-∞; -2) và (-2; +∞).

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Bài 1: Cho hai hàm số...

Hướng dẫn giải:

a) f(x)=$x^{2}$ và g(x)=-x+1 là các hàm đa thức nên nó liên tục trên R. 

=> f(x) và g(x) đều liên tục tại x=1.

b) Ta có: f(x)+g(x)=$x^{2}$+-x+1=$x^{2}$-x+1

=> L=f(x)+g(x)=$x^{2}$-x+1 =1 

f(1)=1;g(1)=0 => f(1)+g(1)=1+0=1

Vậy L= f(1)+g(1)

Bài 2: Giải bài toán ở tình huống mở đầu

Hướng dẫn giải:

Vận tốc trung bình trên quãng đường đi là $v_{a}$=$\frac{180}{3}$=60 (km/h)

Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Xét hàm số f(t)=v(t)-$v_{a'}$, rõ ràng ft là hàm số liên tục trên đoạn t0;t1

Vì vận tốc liên tục trong suốt thời gian chạy, có thời điểm vận tốc dưới trung bình hoặc trên mức trung bình nên có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc bằng vận tốc trung bình là 60km/h.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.14: Cho...

Hướng dẫn giải:

Vì f(x) liên tục tại x=1 nên 2f(x) cũng liên tục tại x=1

Mà hàm số g(x) liên tục tại x=1 => y=2f(x)-g(x) liên tục tại x=1

=> [2f(x) -g(x)]=2f(1)-g(1) = 3

=> g(1)=1

Bài tập 5.15: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác...

Hướng dẫn giải:

a) D=R\ -2; -3. Do f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên D.

b) D = R và liên tục trên các khoảng (-∞;1) và (1; +∞)

f(x) =1+$x^{2}$ =2 

f(x) =(4-x) =3 

Vậy hàm số gián đoạn tại x=1.

Bài tập 5.16: Tìm giá trị của tham số...

Hướng dẫn giải:

D = R và liên tục trên các khoảng (-∞;0) và (0; +∞).

f(x) =sin x  =0 

f(x) =(-x+m) =m 

f(0)=0 

Vậy hàm số f(x) liên tục trên R chỉ khi m=0.

Bài tập 5.17: Một bảng giá cước taxi được cho như sau...

Hướng dẫn giải:

a) Kí hiệu f(x) là số tiền phải trả theo quãng đường di chuyển (tính theo km) Ta thấy :

f(x)=10 000x với 0<x ≤0,5  

f(x)=10 000+x-0,5. 13 500 với 0,5<x ≤30

f(x)=10 000+29,5 . 13 500 +x-30. 11 000 với x>30

b) +) Với x∈[0;0,5] thì f(x)=10 000 là hàm hằng nên f(x) liên tục trên [0;0,5].

+) Với x∈(0,5;30] thì fx=13 500.x+3 250 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,5;30].

+) Với x>30 thì fx=11 000.x+78 250 là hàm đa thức nên liên tục trên (30; +∞).

* Tại x=0,5 => f(0,5)=10 000

f(x) =10 000 =10 000 

f(x) =(13 500.x+3 250) =10 000 

=> f(x) liên tục tại x=0,5.

* Tại x=30 => f30=13 500.30+3 250=408 250

f(x) =(13 500.x+3 250) =408 250 

f(x) =(11 000.x+78 250) =408 250 

=> f(x) liên tục tại x=30

Vậy hàm số liên tục trên [0; +∞).