Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một quả đạn pháo được bán ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn v0 không đổi. Tìm góc bắn α để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo

Khi đó theo Vật lí, ta biết rằng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol có phương trình 

y=$\frac{-g }{2v_{o}^{2}cos^{2}α}$+xtanα(với g là gia tốc trọng trường).

Cho y = 0 ta được $\frac{-g }{2v_{o}^{2}cos^{2}α}$+xtanα=0

suy ra x = 0 hoặc x=$\frac{v_{o}^{2}sin2α}{g}$

Quả đạn tiếp đất khi x=$\frac{v_{o}^{2}sin2α}{g}$

Ta có x=$\frac{v_{o}^{2}sin2α}{g}$≤$\frac{v_{o}^{2}}{g}$,  dấu bằng xảy ra khi sin 2α = 1.

Giải phương trình sin 2α = 1, ta được α=$\frac{\Pi }{4}$+kπ,k∈Z

Do 0≤α≤$\frac{\Pi }{2}$ nên α=$\frac{\Pi }{4}$ hay α = $45^{0}$

Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng $45^{0}$

1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Bài 1: Nhận biết khái niệm hai phương trình tương đương...

Hướng dẫn giải:

+) 2x-4=0⟺x=$\frac{4}{2}$=2

Tập nghiệm S1=2.

+) (x-2)($x^{2}$+1)=0

⟺ x-2=0  hoặc  $x^{2}$+1>0 ⟺x=2

Tập nghiệm S2=2.

Vậy tập nghiệm của 2 phương trình là tương đương.

Bài 2: Xét sự tương đương của hai phương trình sau...

Hướng dẫn giải:

+) $\frac{x-1}{x+1}$ = 0  (ĐKXĐ: x≠-1).

⇒x-1=0⟺x=1 (thỏa mãn).

Tập nghiệm S1=1.

$x^{2}$ - 1=0

⟺(x-1)(x+1)=0

⟺x-1=0 hoặc x+1=0

Suy ra: x=1  hoặc    x=-1

Tập nghiệm S2=-1;1

Vậy tập nghiệp của 2 phương trình không tương đương

2. PHƯƠNG TRÌNH SINX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình...

Hướng dẫn giải:

a) Hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc $\frac{\Pi}{6}$ và $\Pi $- $\frac{\Pi}{6}$= $\frac{5\Pi}{6}$

 Lại có tung độ đều bằng $\frac{1}{2}$

nên sin $\frac{\Pi}{6}$=$\frac{1}{2}$

và sin$\frac{5\Pi}{6}$=$\frac{1}{2}$

Vậy trong nửa khoảng [0;2π), phương trình sin x =$\frac{1}{2}$ có 2 nghiệm là $\frac{\Pi}{6}$ và $\frac{5\Pi}{6}$

b) Vì hàm số sinx tuần hoàn với chu kì là 2 nên ta có công thức nghiệm phương trình là: x= $\frac{\Pi}{6}$+k2$\Pi$, k∈Z và $\frac{5\Pi}{6}$+k2$\Pi$, k∈Z

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn giải:

a) sin x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

⟺sin x =sin$\frac{\Pi}{4}$

=> x=$\frac{\Pi}{4}$ + k2π  hoặc x=π−$\frac{\Pi}{4}$+ k2π(k∈Z)

⇔ x=$\frac{\Pi}{4}$ + k2π hoặc x= $\frac{3\Pi}{4}$+ k2π(k∈Z)

Vậy phương trình sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ có các nghiệm là 

x=$\frac{\Pi}{4}$ + k2π,k∈Z

và x= $\frac{3\Pi}{4}$+ k2π(k∈Z)

b) sin 3x = – sin 5x

⇔ sin 3x = sin (– 5x)

⇔ 3x=−5x+k2π hoặc 3x=π−(−5x)+k2π(k∈Z)

⇔ 3x=−5x+k2π hoặc 3x=π+5x+k2π(k∈Z)

⇔ 8x=k2π hoặc −2x=π+k2π(k∈Z)

⇔ x=k$\frac{\Pi}{4}$  hoặc x=−$\frac{\Pi}{2}$+kπ(k∈Z)

 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=k$\frac{\Pi}{4}$ và x=−$\frac{\Pi}{2}$+kπ(k∈Z)

3. PHƯƠNG TRÌNH COSX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình...

Hướng dẫn giải:

a) Hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc $\frac{2\Pi}{3}$ và $\frac{-2\Pi}{3}$, lại có hoành độ đều bằng $\frac{-1}{2}$

Nên cos $\frac{2\Pi}{3}$ = $\frac{-1}{2}$ và  cos - $\frac{2\Pi}{3}$ =$\frac{-1}{2}$

Vậy trong nửa khoảng [-;) phương trình có hai nghiệm là x=$\frac{2\Pi}{3}$ và -$\frac{2\Pi}{3}$

b) Vì hàm số cos tuần hoàn với chu kì là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm phương trình là ⟺  x=$\frac{2\Pi}{3}$+k2π hoặc $\frac{-2\Pi}{3}$+k2π(k∈Z)

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn giải:

a) 2cos x =$-\sqrt{2}$⟺cos x =-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

⟺cos x =cos$\frac{\sqrt{3}}{4}$

⟺x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+k2π hoặc x=−$\frac{\sqrt{3}}{4}$+k2π(k∈Z)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $\frac{\sqrt{3}}{4}$+k2π và −$\frac{\sqrt{3}}{4}$+k2π(k∈Z

b) cos 3x -sin 5x =0

⟺cos 3x =cos $\frac{\Pi}{2}$-5x 

⟺3x=$\frac{\Pi}{2}$-5x+k2 hoặc  3x= -($\frac{\Pi}{2}$-5x)+k2 (k∈Z)

⟺x=$\frac{\Pi}{16}$+k$\frac{\Pi}{4}$ hoặc x=$\frac{\Pi}{4}$+k (k∈Z)

Bài 3: Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được...

Hướng dẫn giải:

 a) F=0 

=> $\frac{1}{2} $(1-cos ) =0

⟺cosα=1⟺α=k2, k∈Z 

b) F=0,25

=> $\frac{1}{2} $(1-cosα ) =0,25

⟺cosα=$\frac{1}{2} $⟺cosα=$\frac{\Pi}{3}$

⟺ α=$\frac{2\Pi}{3}$+k2$\Pi$   hoặc  α=-$\frac{2\Pi}{3}$+k2  , (k∈Z)

c) F=0,5

 $\frac{1}{2} $(1-cosα ) =0,5

⟺cos α =0⟺α=$\frac{\Pi}{2}$+k,k∈Z

d) F=1

=> $\frac{1}{2} $(1-cosα ) =1

⟺cosα=-1⟺α=+k2, k∈Z

4. PHƯƠNG TRÌNH TANX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình...

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy trên khoảng (-$\frac{\Pi}{2}$, $\frac{\Pi}{2}$), đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số y=tan x tại điểm có hoành độ x=$\frac{\Pi}{4}$

b) Công thức nghiệm của phương trình tan x =1 là: 

x=$\frac{\Pi}{4}$+kπ, k∈Z

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn giải:

a)$\sqrt{3}$tan 2x =-1

⟺tan 2x = -$\frac{1}{\sqrt{3}}$

⟺tan 2x =tan$\frac{-\Pi}{6}$

⟺2x=-$\frac{-\Pi}{6}$+k, k∈Z

⟺x=-$\frac{-\Pi}{12}$+k$\frac{-\Pi}{2}$

b) tan 3x +tan 5x =0

⟺ tan 3x =tan -5x

⟺3x=-5x+k, (k∈Z) 

⟺x=k$\frac{\Pi}{8}$, k∈Z

5. PHƯƠNG TRÌNH COTX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình...

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy trên khoảng (0; ), đường thẳng y=-1 cắt đồ thị hàm số y=cot x

tại 1 điểm có hoành độ x=-$\frac{\Pi}{4}$ + $\Pi$ = $\frac{3\Pi}{4}$

b) Công thức nghiệm của phương trình cot x =–1 là x=$\frac{3\Pi}{4}$+k$\Pi$, k∈Z

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn giải:

a) cot x =1

⟺cot x =cot$\frac{\Pi}{4}$

⟺x= $\frac{\Pi}{4}$+kπ, k∈Z

b) $\sqrt{3}$cot x +1=0

⟺cot x =-$\frac{1}{\sqrt{3}}$

⟺cot x =-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

⟺cot x =cot(-$\frac{\Pi}{3}$)

⟺x=-$\frac{\Pi}{3}$+kπ, k∈Z

6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM MỘT GÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA NÓ

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc α, biết...

Hướng dẫn giải:

a) Ta bấm phím như sau:

Vậy α ≈ 138°35'26".

Để tìm số đo rađian của góc , ta bấm phím như sau:

Vậy α ≈ 2,41886 rad.

b) Ta bấm phím như sau:

Vậy α ≈ 67°52'41".

Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:

Vậy α ≈ 1,1847 rad.

c) Ta bấm phím như sau:

Vậy α ≈ – 9°11'30".

+ Để tìm số đo rađian của góc , ta bấm phím như sau:

Vậy α ≈ – 0,16042 rad.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1.19: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn giải:

a) sin x =$\frac{\sqrt{3}}{2}$

⟺sin x =sin$\frac{\Pi}{3}$

⟺x=$\frac{\Pi}{3}$+k2$\Pi$ hoặc  x=$\frac{2\Pi}{3}$ k∈Z

b) 2cos x =-$\sqrt{2}$

⟺cosx=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

⟺cosx =cos$\frac{3\Pi}{4}$

⟺x=$\frac{3\Pi}{4}$+k2$\Pi$ hoặc x=-$\frac{3\Pi}{4}$+k2$\Pi$ k∈Z

c) $\sqrt{3}$tan($\frac{x}{2}$+$15^{0}$=1

⟺tan($\frac{x}{2}$+$15^{0}$) = tan$15^{0}$

⟺x=$30^{0}$+k$360^{0}$, k∈Z

d) cot(2x-1) =cot($\frac{\Pi}{5}$)

⟺2x-1=$\frac{\Pi}{5}$+kπ, k∈Z

⟺x=$\frac{\Pi}{10}$+$\frac{1}{2}$+k$\frac{\Pi}{2}$, k∈Z

Bài tập 1.20: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn giải:

a) sin 2x +cos 4x =0

⟺cos 4x =sin -2x ⟺cos 4x =cos($\frac{\Pi}{2}$-(-2x))

⟺cos 4x =cos($\frac{\Pi}{2}$+2x)

⟺x= $\frac{\Pi}{4}$+kπ hoặc x=-$\frac{\Pi}{2}$+k$\frac{\Pi}{3}$k∈Z

b) cos 3x = –cos 7x

⇔ cos 3x = cos(π + 7x) 

⟺x=-$\frac{\Pi}{4}$ +k$\frac{\Pi}{2}$ hoặc x=-$\frac{\Pi}{10}$ + k$\frac{\Pi}{5}$)k∈Z

Bài tập 1.21: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban...

Hướng dẫn giải:

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó -$\frac{49}{2500000\alpha }$$x^{2}$+x.tanα =0

⟺x(-$\frac{49}{2500000\alpha }$x + tanα = 0

⟺x=0(không thỏa mãn) hoặc x=$\frac{2500000\alpha tan\alpha}{49}$

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là x=$\frac{2500000\alpha tan\alpha}{49}$(m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x=22 000 m.

Khi đó: $\frac{1250000\alpha tan\alpha}{49}$=22000⟺sin 2α= $\frac{539}{625}$

⟺ α≈$29^o$47'36''    hoặc      α≈$60^o$12'23''

Bài tập 1.22: Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương...

Hướng dẫn giải:

Vật qua vị trí cân bằng thì x=0, ta có:

2cos(5t-$\frac{\Pi}{6}$)=0

⟺cos(5t-$\frac{\Pi}{6}$)=0

⟺5t-$\frac{\Pi}{6}$=$\frac{\Pi}{2}$+kπ, k∈Z

⟺t=$\frac{2\Pi}{15}$+k$\frac{\Pi}{5}$, k∈Z

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là t∈[0;6] 

hay 0≤$\frac{2\Pi}{15}$+k$\frac{\Pi}{5}$≤6

⟺-$\frac{2}{3}$≤ k ≤ $\frac{90-2\Pi }{3\Pi}$

Vì k ∈ Z nên k∈{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần