Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

MỞ ĐẦU

Câu hỏi:

Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin?

Hướng dẫn trả lời:

Vì hình ảnh mặt cắt sóng nước giống với đồ thị của hàm lượng giác y = sinx

1. Hàm số lượng giác

Khám phá 1: Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác. Sử dụng định nghĩa của các giá trị lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost

b) Giá trị tant (nếu $t \neq \frac{\pi }{2} + k\pi , k\in \mathbb{Z}$ và cott (nếu $t \neq k\pi , k\in \mathbb{Z}$)

Hướng dẫn trả lời

a) Theo định nghĩa giá trị lượng giác, sint là tung độ của điểm M trên đường tròn lượng giác và cost là hoành độ của điểm M trên đường tròn lượng giác.

Với mỗi điểm M xác định, ta chỉ có 1 tung độ và hoành độ duy nhất

Nên ta chỉ xác định duy nhất giá trị sint và cost

b) Nếu $t \neq \frac{\pi }{2} + k\pi$: $x_{M} \neq 0$. Ta có tant = $\frac{y_{M}}{x_{M}}$

Nếu $t \neq  k\pi$: $y_{M} \neq 0$. Ta có cott = $\frac{x_{M}}{y_{M}}$

Do chỉ có một $x_{M}$ và $y_{M}$ duy nhất nên ta chỉ xác định duy nhất tant và cott

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

Khám phá 2: Xét hai hàm số $y = x^{2}$, $y=2x$ và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường họp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Hướng dẫn trả lời:

• Hàm số $y = x^{2}$

Ta thấy y(1) = y(-1) và y(2) = y(2)

Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy

• Hàm số $y=2x$

Ta thấy y(1) = -y(-1) và y(2) = -y(-2)

Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm O

Thực hành 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số y = sinx có tập xác định là $\mathbb{R}$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và sin(-x) = -sinx.

Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ

Hàm số y = cotx có tập xác định là $\mathbb{R}$\{$k\pi ; k\in \mathbb{Z}$},

Khám phá 3: Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi $x\in \mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

$T = 2\pi $

Thực hành 2: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:

cosx = cos(x + 2$\pi $) với mọi $x\in \mathbb{R}$

cotx = cos(x + $\pi $) với mọi $x\neq k\pi  $, $k\in \mathbb{Z}$

Do đó, hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn

Với mọi x $\neq k\pi ( k\in \mathbb{Z})$ ta có -x $\neq -k\pi (k\in  \mathbb{Z})$

cũng có nghĩa la -x $\neq k\pi ( k\in \mathbb{Z})$  hay $-x \in \mathbb{R}$\{${k\pi ; k\in \mathbb{Z}}$}

Mặt khác cot(-x) = -cot(x). Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

Khám phá 4: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Hướng dẫn trả lời:

Khám phá 5: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Hướng dẫn trả lời:

Thực hành 3: Li độ s (cm) của một con lắc đồng hộ theo thời gian t (giây) được cho bởi hàm số $s = 2cos\pi t$. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 3 giây đầu thì con lắc có li độ lớn nhất

Hướng dẫn trả lời:

Trong 3 giây đầu, $0 \leq t\leq 3$ nên $0 \leq \pi t\leq 3\pi $

Dựa vào đồ thị hàm số côsin, ta thấy $cos\pi t = 1$ khi $\pi t = 0$ và $\pi t = 2\pi $

Vậy con lắc có li độ lớn nhất tại các thời điểm t = 0 và t = 2 

Khám phá 6: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Hướng dẫn trả lời:

Khám phá 7: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Hướng dẫn trả lời:

Thực hành 4: Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn $[-2\pi;2\pi]$ thoả mãn điều kiện tanx = 2?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có đồ thị của hàm số trên đoạn $[–2\pi; 2\pi]$ là:

Do đó có 4 giá trị x thỏa mãn điều kiện bài toán.

BÀI TẬP

Bài 1: Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a) $y = 5sin^{2}\alpha + 1$

b) $y = cosx + sinx$

c) $y = tan2x$

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét: $y = 5sin^{2}(-\alpha) + 1 = 5(-sin\alpha )^{2}+1 = 5sin^{2}\alpha + 1$

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn

b) Hàm số $y = cosx + sinx$ không phải hàm số chẵn hay hàm số lẻ

c) Xét $y = tan2(-x) = -tan2x$

Vậy hàm số trên là hàm số lẻ 

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y =\frac{1}{cosx}$

b) $y = tan(x+\frac{\pi }{4})$

c) $y = \frac{1}{2-sin^{2}x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số y xác định khi $cosx \neq  0 $

Suy ra $x \neq \frac{\pi }{2} + k\pi $

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$\{$\frac{\pi }{2} + k\pi $}

b) Hàm số y xác định khi $cos(x+\frac{\pi }{4}) \neq 0$

Suy ra $x +\frac{\pi }{4} \neq \frac{\pi }{2}+ k\pi $ và $x \neq \frac{\pi }{4}+ k\pi $

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$\{$\frac{\pi }{4} + k\pi $}

c) Hàm số y xác định khi $2-sin^{2}x \neq 0$

Mà với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có: $0\leq sin^{2}\alpha \leq 1$ nên $1\leq 2-sin^{2}\alpha \leq 2$

Vậy hàm số y xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$

Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cos + 1

Hướng dẫn trả lời:

Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có: $-1 \leq cosx \leq 1$

Suy ra: $-1 \leq 2cosx + 1\leq 3$

Vậy tập giá trị của hàm số y là $\left [ -3; 1 \right ]$

Bài 4: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, xác định các giá trị $x\in \left [ -\pi ;\pi  \right ]$ thoả mãn $sinx = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Dựa vào đồ thị hình sin, ta thấy $sinx = \frac{1}{2}$ khi $x = \frac{\pi }{6}$ và $x = \frac{-\pi }{6}$

Bài 5: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác $\alpha $ = (Ox, OM) theo hàm số $v_{x} = 0,3sin\alpha $ (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $v_{x}$

b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên ($0 \leq \alpha \leq 2\alpha $), góc $\alpha $ ở trong các khoảng nào thì $v_{x}$ tăng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do $-1 \leq sin\alpha \leq 1$ nên $-0,3 \leq sin\alpha \leq 0,3$

Vậy giá trị lớn nhất của $v_{x}$ là 0,3 (m) và giá trị nhỏ nhất của $v_{x}$ là -0,3 (m).

b) Dựa vào đồ thị hàm số sin, ta thấy vòng quay đầu tiên ($0 \leq \alpha \leq 2\alpha $), $v_{x}$ tăng khi $\pi\leq \alpha \leq 2\pi $

Bài 6: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12)

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc $\alpha = (OA, OG)$

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Hướng dẫn trả lời:

a) $h = 3 + 3.sin\alpha $

b) Trong 1 phút đầu, guồng nước quay được 2 vòng. Ta có $0\leq \alpha \leq 4\pi $

Khi h = 1,5. Suy ra $sin\alpha  = \frac{-1}{2}$.

Khi đó, $\alpha =\frac{7\pi }{6}$; $\alpha =\frac{11\pi }{6}$; $\alpha =\frac{19\pi }{6}$ hoặc $\alpha =\frac{23\pi }{6}$

Bài 7: Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, $\alpha $ là góc lượng giác (Tx, TA) ($0<\alpha <\pi $).

Hướng dẫn trả lời:

a) $x_{H} = 500.cot\alpha $

b) Với $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}$ thì $\frac{-\sqrt{3}}{3}<cot\alpha <\sqrt{3}$

Vậy $x_{H} $ $\in $ {$-288,7; 866$}