Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Cấp số cộng

MỞ ĐẦU

Câu 1: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Tính từ sân khấu, số lượng ghế của các hàng tăng dần như trong hình minh hoạ dưới đây. Bạn hãy đếm và nếu nhận xét về số ghế của năm hàng đầu tiên. Làm thế nào để biết được số ghế của một hàng bất kì và tính được tổng số ghế trong rạp hát đó?

Hướng dẫn trả lời:

Số ghế của 5 hàng đầu tiên là: $u_{1}=14; u_{2}=17; u_{3}=20;u_{4}=23;u_{5}=26$

Số ghế hàng sau hơn số ghế hàng liền trước là 3 ghế

Số ghế của một hàng bất kì là: $u_{n} = 14+3n$

Tổng số ghế trong rạp là: $u_{1} + u_{2} + u_{3}+...+u_{n}$

1. Cấp số cộng

Khám phá 1: Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

a) 2; 5; 8; 11; 14

b) 2; 4; 6; 8

c) 5; 10; 15; 20; 25

d) -5; -2; 1; 4; 7; 10

Hướng dẫn trả lời:

Các dãy số trên có điểm giống nhau là 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau một số không đổi

Thực hành 1: Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=9n-9$

c) Dãy số $(v_{n})$ với $v_{n}=an+b$, trong đó a và b là các hằng số

Hướng dẫn trả lời:

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23. là cấp số cộng với công sai d = 4

b) Ta có: $u_{n+1} = 9(n+1) - 9 = 9n -9 + 9 = u_{n} +9$

Vậy dãy số $(u_{n})$  là cấp số cộng có công sai d = 9

c) Ta có: $v_{n+1} = a(n+1) - b = an -b + a= v_{n} +a$

Vậy dãy số $(v_{n})$  là cấp số cộng có công sai d = a

Thực hành 2: Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó

Hướng dẫn trả lời:

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, ta gọi 3 góc đó là: a; a+d; a+2d (a,d > 0)

Ta có: $a + (a+d) + (a+2d) = 180^{o} \Leftrightarrow 3a + 3d = 180^{o} \Leftrightarrow a+d=60^{o}$ (1)

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng $90^{o}$. Suy ra $a+2d=90^{o}$ (2)

Từ (1) và (2), ta tính được $a = 30^{o}, d = 30^{o}$

Vậy số đo 3 góc là $30^{o}; 60^{o}; 90^{o}$ 

Vận dụng 1: Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ 3, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2; cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.

Hướng dẫn trả lời:

Số ô trên các vòng là: $u_{1}=6; u_{2}=12; u_{3}=18$

Ta thấy $u_{n+1}=u_{n}+6$

Vậy các ô trên vòng tạo thành cấp số cộng có công sai là 6

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Khám phá 2: Cho cấp số cộng $(u_{n})$. Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của $(u_{n})$:

$u_{2}-u_{1};u_{3}-u_{1};u_{4}-u_{1};...;u_{n}-u_{1}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{2}-u_{1} = d$

$u_{3}-u_{1} = 2d$

$u_{4}-u_{1} = 3d$

.....

$u_{n}-u_{1} = (n-1)d$

Thực hành 3: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng $(a_{n})$ có $a_{1}=5$ và $d=-5$

b) Cấp số cộng $(b_{n})$ có $b_{1}=2$ và $b_{10}=20$

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{n}=5+(n-1).(-5)=-5n+10$

b) $b_{10}=b_{1}+9d \Leftrightarrow  20 = 2 + 9d \Leftrightarrow d=2$

$b_{n}=2+(n-1).2=2n$

Vận dụng 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng $(c_{n})$ có $c_{4}=80$ và $c_{6}=40$

Hướng dẫn trả lời:

$c_{4}=c_{1}+3d \Leftrightarrow c_{1}+3d=80$

$c_{6}=c_{1}+5d \Leftrightarrow c_{1}+5d=40$

Suy ra $c_{1} = 140$ và $d = -20$

$c_{n} = 140 + (n-1).(-20) = -20n +160$

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là $c_{n} = -20n +160$

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Khám phá 3: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có công sai d

a) Tính các tổng $u_{1}+u_{n}; u_{2}+u_{n-1}; u_{3}+u_{n-2};...;u_{k}+u_{n-k+1}$ theo $u_{1}, n$ và $d$

b) Chứng tỏ rằng $2(u_{1}+u_{2}+...+u_{n})=n(u_{1}+u_{n})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{1}+u_{n} = u_{1}+u_{1}+(n-1)d = 2u_{1}+(n-1)d$

$u_{2}+u_{n-1} = u_{1}+d+u_{1}+(n-2)d = 2u_{1}+(n-1)d$

$u_{3}+u_{n-2} = u_{1}+2d+u_{1}+(n-3)d = 2u_{1}+(n-1)d$

$u_{k}+u_{n-k+1} = u_{1}+(k-1)d+u_{1}+(n-k)d = 2u_{1}+(n-1)d$

b) Cộng các tổng trên, ta được

$2(u_{1}+u_{2}+...+u_{n})=n(2u_{1}+(n-1)d)$

$\Leftrightarrow 2(u_{1}+u_{2}+...+u_{n})=n(u_{1}+u_{n})$

Thực hành 4: 

a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên

b) Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{3} + u_{28} = 100$. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng $(v_{n})$ có $S_{6} = 18$ và $S_{10} = 110$. Tính $S_{20}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên là:

$S_{50} = \frac{50[2.0+(50-1).2]}{2} = 2450$

b) $u_{3} + u_{28} = u_{1}+2d+u_{1}+27d = u_{1}+u_{1}+29d=u_{1}+u_{30} =100$

$S_{30}=\frac{n(u_{1}+u_{30})}{2}=\frac{30.100}{2}=1500$

c) $S_{6}=\frac{6(2u_{1}+5d)}{2}=18 \Leftrightarrow 2u_{1}+5d=6$

$S_{10}=\frac{10(2u_{1}+9d)}{2}=110 \Leftrightarrow 2u_{1}+9d=22$

Suy ra $u_{1} = -7; d = 4$

$S_{20}=\frac{20(2u_{1}+19d)}{2} = 620$

Vận dụng 3: Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế,... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).

a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng

b) Tính tổng số ghế có trong rạp

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $u_{1}=17; u_{2} = 20; u_{3}= 23$

Suy ra d = 3 và $u_{n}= 17 + (n-1).3=3n +14$

a) $u_{20}= 3.20 +14=74$

b) $S_{20}=\frac{20(17+74)}{2}=910$

BÀI TẬP

Bài 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; -3; -7; -11; -15

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy: $u_{n+1}=u_{n}+(-4)$

Vậy dãy số trên là dãy số cộng có công sai bằng -4

Bài 2: Cho $(u_{n})$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 4$ và công sai d = -10. Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}=4 + (n-1)(-10)=-10n+14$

Vậy công thức số hạng tổng quát $u_{n}= -10n+14$

Bài 3: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = -3$ và công sai $d=2$

a) Tìm $u_{12}$

b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}=-3 + 2(n-1)=2n-5$

a) $u_{12}=2.12-5=19$

b) $u_{n}=2n-5 = 195 \Leftrightarrow  n = 100$

Bài 4: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) $u_{n} = 3-4n$

b) $u_{n}=\frac{n}{2}-4$

c) $u_{n}=5^{n}$

d) $u_{n}=\frac{9-5n}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{n} = 3-4n = -1 - 4(n-1)$

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu là -1 và công sai là -4

b) $u_{n}=\frac{n}{2}-4 = \frac{-7}{2} +(n-1)\frac{1}{2}$

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu là $\frac{-7}{2}$ và công sai là $\frac{1}{2}$

c) $u_{n}=5^{n}$

Dãy số trên không phải cấp số cộng

d) $u_{n}=\frac{9-5n}{3}= \frac{4}{3}-(n-1)\frac{5}{3}$

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu là $\frac{4}{3}$ và công sai là $\frac{-5}{3}$

Bài 5: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_{n})$, biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{3}-u_{1}=20\\u_{2}+u_{5}=54\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{2}+u_{3}=0\\u_{2}+u_{5}=80\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{2}=3\\u_{8}.u_{3}=24\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{3}-u_{1}=20\\u_{2}+u_{5}=54\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+2d-u_{1}=20\\u_{1}+d+u_{1}+4d=54\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d=10\\u_{1}=2\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{2}+u_{3}=0\\u_{2}+u_{5}=80\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+d+u_{1}+2d=0\\u_{1}+d+u_{1}+4d=80\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u_{1}+3d=0\\2u_{1}+5d=80\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d=40\\u_{1}=-60\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{2}=3\\u_{8}.u_{3}=24\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+4d-u_{1}-d=3\\(u_{1}+7d)(u_{1}+2d)=24\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d=1\\u_{1}=1\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}d=1\\u_{1}=-10\end{matrix}\right.$

Bài 6: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45cm, 43cm, 41cm,...., 31cm.

a) Các thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là -2

$u_{n}=45-2(n-1)=47-2n$

Khi $u_{n}=31 \Leftrightarrow n = 8$

Vậy cái thang có 8 bậc

b) $S_{8}=\frac{8.(45+31)}{2} = 304$

Vậy chiều dài thanh gỗ là 304 cm

Bài 7: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144;... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng)

a) Tính công sai của cấp số cộng trên

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Hướng dẫn trả lời:

a) Công sai của cấp số cộng trên là: d = 32

b) $S_{10}=\frac{10.[2.16+(10-1).32]}{2} =1600$

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1600 feet

Bài 8: Ở một loài thực vật lưỡng bột, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen A và B cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Cây  với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm)