Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 3: Cấp số nhân

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một quả bóng rơi từ một vị trí có độ cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên độ cao bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó.

Gọi $u_{1} = 120$ là độ cao của lần rơi đầu tiên và $u_{2}; u_{3};...;u_{n};...$ là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy $(u_{n})$ và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.

Hướng dẫn trả lời:

$u_{2}=\frac{1}{2}.120=60$

$u_{3}=\frac{1}{2}.60=30$

$u_{4}=\frac{1}{2}.30=15$

$u_{5}=\frac{1}{2}.15=\frac{15}{2}$

Dãy số có mỗi số hạng đều bằng một nửa số hạng đứng liền trước.

1. Cấp số nhân

Khám phá 1: 

a) Tìm thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy: 2; 4; 8; 16; 32; 64

b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

i) 3; 6; 12; 24; 48

ii) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8};\frac{1}{16}$

iii) 2; -6; 18; -54; 163; -486

Hướng dẫn trả lời:

a) Thương của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2

b) Điểm giống nhau của các dãy số là: mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi

Thực hành 1: Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số $2^{m}, 2^{n}, 2^{p}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn trả lời:

Vì 3 số m, n, p theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.

Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có: n = m + d, p = n+ d

Ta có: $2^{n}=2^{m + d}=2^{m}.2^{d}$ và $2^{p}=2^{n + d}=2^{n}.2^{d}$

Vậy $2^{m}, 2^{n}, 2^{p}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là $2^{d}$

Vận dụng 1: Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng minh rằng dân số các năm từ 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Hướng dẫn trả lời:

Dân số qua các năm là:

$u_{2011}=P$

$u_{2012} = P + aP = P(1+a) = u_{2011}.(1+a)$

$u_{2013}= P(1+a) +aP(1+a)= P(1+a)^{2}=u_{2012}.(1+a)$

.....

$u_{n+1}= u_{n}(1+a)$

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là 1+a

Vận dụng 2: Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz. Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn trả lời:

Do tần số của ba phím  Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là: $a, aq, aq^{2}$

Ta có: $a = 415$ và $aq^{2} = 466$. Nên $q = 1,06$

Suy ra: $aq = 440$

Vậy tần số của phím La là 440 Hz

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Khám phá 2: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội q. Tính $u_{2}, u_{3}, u_{4}$ và $u_{10}$ theo $u_{1}$ và $q$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{2}=u_{1}.q$

$u_{3}=u_{2}.q=u_{1}.q^{2}$

$u_{4}=u_{3}.q=u_{1}.q^{3}$

$u_{10}=u_{1}.q^{9}$

Thực hành 2: Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ theo số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ của các cấp số nhân sau:

a) 5; 10; 20; 40; 80;...

b) $1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \frac{1}{1000}; ....$

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{n}= 5.2^{n-1}$

b) $u_{n}= 1.\frac{1}{10}^{n-1}$

Vận dụng 3: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa. Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau:

a) 690 ngày

b) 7314 ngày (khoảng 20 năm)

Hướng dẫn trả lời:

a) Sau 690 = 138.5 ngày, tức là sau 5 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:

$20.\left ( \frac{1}{2} \right )^{4} = 1,25$ (gam)

b) Sau 7314 = 138.53 ngày, tức là sau 53 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:

$20.\left ( \frac{1}{2} \right )^{52} = 4,44.10^{-15}$ (gam)

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Khám phá 3: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội q. Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$

a) So sánh $q.S_{n}$ và $(u_{2}+u_{3}+...+u_{n}) + q.u_{n}$

b) So sánh $u_{1}+q.S_{n}$ và $S_{n}+u_{1}.q^{n}$

Hướng dẫn trả lời:

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n} = u_{1}+u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+....+u_{1}.q^{n-1}$

a) Ta có: $q.S_{n} = u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+....+u_{1}.q^{n}$

$(u_{2}+...+u_{n}) + q.u_{n} = u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+....+u_{1}.q^{n-1} +q.u_{n}$

Vậy $q.S_{n}=(u_{1}+u_{2}+...+u_{n}) + q.u_{n}$

b) Ta có: $u_{1}+q.S_{n} = u_{1}+u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+....+u_{1}.q^{n}$

$S_{n}+u_{1}.q^{n} = u_{1}+u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+....+u_{1}.q^{n-1}+q.u_{n}$

Vậy $u_{1}+q.S_{n}=S_{n}+u_{1}.q^{n}$

Thực hành 3: Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_{n})$ trong các trường hợp sau:

a) $u_{1}=10^{5}; q = 0,1; n=5$

b) $u_{1}=10^{5}; u_{2}=-20; n=5$

Hướng dẫn trả lời:

a) $S_{5}= \frac{10^{5}.(1-0,1^{5})}{1-0,1}= 11110$

b) $u_{2}=-20 = u_{1}.q$. Suy ra $q =-2$

$S_{5}= \frac{10.(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}= 110$

Vận dụng 4:  Trong bài toán ở mở đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $u_{1} = 120; q=\frac{1}{2}$

$S_{10}=\frac{120.(1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{10})}{1-\frac{1}{2}} = 239,8$

BÀI TẬP

Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) $u_{n}=3(-2)^{n}$

b) $u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n}$

c) $\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{n}=3(-2)^{n}= (-6).(-2)^{n}$

Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -2

b) $u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n} =7. (-7)^{n-1}$

Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -7

c) $\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.$

Dãy trên không phải cấp số nhân

Bài 2: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}-u_{1}=15\\u_{1}.q^{3}-u_{1}.q=6\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{1}.q^{2}+u_{1}.q^{4}=65\\u_{1}+u_{1}.q^{6}=325\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=5\end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất

b) Viết sáu số xen vào giữa các số -2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi số đo 4 góc lần lượt là: $u_{1}; u_{1}.q; u_{1}.q^{2}; u_{1}.q^{3}$

Ta có: $u_{1}.q^{3} =8u_{1} \Leftrightarrow q = 2$

$u_{1}+2u_{1}+4u_{1}+8u_{1}= 360. \Leftrightarrow u_{1}=24$

Vậy số đo các góc là: $24^{o}; 48^{o}; 96^{o}; 192^{o} $

b) Ta có: $u_{1} = -2$; $u_{8} = 256 = u_{1}.q^{7}$ 

Suy ra: q = -2

Vậy $u_{15} = (-2).(-2)^{14} = -32768$

Bài 4: Ba số $\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì ba số $\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

$\frac{1}{b}=\frac{2}{b-a}+d \Leftrightarrow b-a=2b + db(b-a)\Leftrightarrow (bd-1)a = (bd+1)b\Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{a}{b}$

$\frac{2}{b-c} = \frac{1}{b} + d \Leftrightarrow 2b = b-c+qb(b-c)\Leftrightarrow (1+bd)c=b(bd-1) \Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{b}{c}$

Suy ra: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$

Gọi b = a.q

Ta có: $\frac{a}{aq} = \frac{aq}{c} \Leftrightarrow c=aq^{2}\Leftrightarrow c = bq$

Vậy a,b,c lần lượt là cấp số nhân có công bội là q

Bài 5: Tính các tổng sau:

a) $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}$

b) $S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9$ (n chữ số 9)

Hướng dẫn trả lời:

a) $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}$

$S_{n}=\frac{n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{1-\frac{1}{3}}$

$S_{n}=\frac{3n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{2}$

b) $S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9$ (n chữ số 9)

$S_{n}= \left (10-1  \right ) + \left (10^{2}-1  \right )+\left (10^{3}-1  \right )+...+ \left ( 10^{n}-1 \right )$

$S_{n}=(10+10^{2}+10^{3}+...+10^{n})-n$

$S_{n}= \frac{n\left ( 1-10^{n} \right )}{1-10}-n$

$S_{n}= \frac{n\left ( 10^{n}-1 \right )}{9}-n$

Bài 6: Một loại vị khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Hướng dẫn trả lời:

Tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút là: 

$S_{20}=\frac{20.\left [ 1-2^{20} \right ]}{1-2} = 20971500$

Bài 7: Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Hướng dẫn trả lời:

Dân số của thành phố từ năm 2022 lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là 1+0,0075=1,0075

Dân số của thành phố vào năm n là: $u_{n} = 2,1.1,0075^{n-2022}$

a) $u_{2032} = 2,1.1,0075^{2032-2022} =  2,26$

b) Khi $u_{n} = 2.u_{2022}\Leftrightarrow 1,0075^{n-2022} =  2\Leftrightarrow n =2115 $

Vậy đến năm 2115, dân số thành phố gấp đôi so với năm 2022

Bài 8: Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây ăn toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần đầu

Hướng dẫn trả lời:

Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ nhất là $u_{1} = 9$

Độ cao các lần nảy lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là q = 0,6

$u_{n}=9.0,6^{n-1}$

a) $u_{3}=9.0,6^{3-1} = 3,24$

b) $S_{5}=\frac{9.\left [ 1-0,6^{5} \right ]}{1-0,6} = 20,75$