Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Khám phá 1: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với n như thế nào thì $\left | u_{n} \right |$ bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm $u_{n}$ đến điểm 0 khi n trở nên rất lớn?

Hướng dẫn trả lời:

a)

b) Với n>100 thì  $\left | u_{n} \right |<0,01$

Với n>1000 thì  $\left | u_{n} \right |<0,001$

c) Khi điểm n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ điểm $u_{n}$ đến điểm 0 trở nên rất gần

Thực hành 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{1}{n^{2}}$

b) $lim\left (-\frac{3}{4} \right )^{n}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $lim\frac{1}{n^{2}} = 0$

b) Do $\left | -\frac{3}{4} \right | = \frac{3}{4} < 1$

Nên $lim\left (-\frac{3}{4} \right )^{n} = 0$

Khám phá 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{2n+1}{n}$

a) Cho dãy số $(v_{n})$ với $v_{n} = u_{n} - 2$. Tìm giới hạn $limv_{n}$

b) Biểu diễn các điểm $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm $u_{n}$ khi n trở nên rất lớn?

Hướng dẫn trả lời:

a) $$v_{n} = u_{n} - 2 = \frac{2n+1}{n} - 2 = \frac{1}{n}$

$limv_{n}= lim\frac{1}{n} = 0$

b)  

Khi n trở nên rất lớn thì các điểm $u_{n}$ trở nên rất gần điểm 2

Thực hành 2: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\left ( 2+\left ( \frac{2}{3} \right )^{n} \right )$

b) $lim\left ( \frac{1-4n}{n} \right )$

Hướng dẫn trả lời:

a) Đặt $u_{n}=2+\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}$. Ta có: $u_{n}-2=\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}$

Suy ra $lim(u_{n}-2)=lim\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}=0$

Vậy $limu_{n}=2$ hay $lim\left ( 2+\left ( \frac{2}{3} \right )^{n} \right )=2$

b) Đặt $v_{n}=\frac{1-4n}{n} = \frac{1}{n}-4$ hay $v_{n}+4=\frac{1}{n}$

Suy ra: $lim(v_{n}+4)=lim\frac{1}{n} = 0$

Vậy $limv_{n} = -4$ hay $lim\left ( \frac{1-4n}{n} \right )=-4$

2. Các phép toán về giới hạn của dãy số

Khám phá 3: Ở trên ta đã biết $lim\left ( 3+\frac{1}{n^{2}} \right ) = lim\frac{3n^{2}+1}{n^{2}}=3$

a) Tìm các giới hạn $lim3$ và $lim\frac{1}{n^{2}}$

b) Từ đó, nếu nhận xét về $lim\left ( 3+\frac{1}{n^{2}} \right )$ và $lim3 + lim\frac{1}{n^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $lim3 = 3$

$lim\frac{1}{n^{2}} = 0$

b) $lim\left ( 3+\frac{1}{n^{2}} \right ) = lim3 + lim\frac{1}{n^{2}}$

Thực hành 3: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{2n^{2}+3n}{n^{2}+1}$

b) $lim\frac{\sqrt{4n^{2}+3}}{n}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\frac{2n^{2}+3n}{n^{2}+1} = 2 +\frac{3n-2}{n^{2}+1}= 2+\frac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n^{2}}}$

Từ đó: $lim\frac{2n^{2}+3n}{n^{2}+1} = lim2+\frac{lim\frac{3}{n}-lim\frac{2}{n^{2}}}{lim1+lim\frac{1}{n^{2}}} = 2 +\frac{0+0}{1+0}=2$

b) Ta có: $\frac{\sqrt{4n^{2}+3}}{n} = \frac{\sqrt{4n^{2}+3}}{\sqrt{n^{2}}} = \sqrt{\frac{4n^{2}+3}{n^{2}}}= \sqrt{4+\frac{3}{n^{2}}}$

Từ đó: $lim\frac{\sqrt{4n^{2}+3}}{n} =lim\sqrt{4+\frac{3}{n^{2}}}= \sqrt{lim\left ( 4+\frac{3}{n^{2}} \right )} = \sqrt{lim4+lim\frac{3}{n^{2}}}=\sqrt{4+0}=2$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Khám phá 4: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích $u_{k}$ của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3,....)

b) Tính tổng diện tích $S_{n}$ của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3,...)

c) Tìm giới hạn $limS_{n}$ và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{k} = \frac{1}{2^{k}}$

b) $S_{n}= \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{n}} = \frac{\frac{1}{2}\left [ 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \right ]}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}} $

c) $limS_{n}= lim\left (1-\frac{1}{2^{n}}   \right ) = lim1 - lim\frac{1}{2^{n}}   =1-0=1$

Ta thấy $limS_{n}$ bằng diện tích hình vuông ban đầu

Thực hành 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1+\frac{1}{3}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+...+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+...$

Hướng dẫn trả lời:

$lim\left (1+\frac{1}{3}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+...+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+...  \right )=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

Vận dụng 1: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính $\frac{R}{2}$ rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính $\frac{R}{4}$ rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục. Tính tổng diện tích các hình tròn.

Hướng dẫn trả lời:

Tổng diện tích các hình tròn là: 

$S = R^{2}+2.\left ( \frac{R}{2} \right )^{2}+4.\left ( \frac{R}{4} \right )^{2}+... = R^{2}.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+.... \right )$

Ta có: $lim\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+.... \right ) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

Vậy $S=2R^{2}$

4. Giới hạn vô cực

Khám phá 5: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vi (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu $u_{n}$ (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $u_{n}=n^{2}$

a) $u_{n}>10000$ khi $n>100$

$u_{n}>1000000$ khi $n>1000$

b) $u_{n} > S$ khi $n>\sqrt{S}$

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{-2n+1}{n}$

b) $lim\frac{\sqrt{16n^{2}-2}}{n}$

c) $lim\frac{4}{2n+1}$

d) $lim\frac{n^{2}-2n+3}{2n^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $lim\frac{-2n+1}{n} = lim\left ( -2+\frac{1}{n} \right ) = lim(-2)+lim\frac{1}{n}=-2+0=-2$

b) $lim\frac{\sqrt{16n^{2}-2}}{n} = lim\sqrt{\frac{16n^{2}-2}{n^{2}}}=\sqrt{lim\left ( 16-\frac{2}{n^{2}} \right )}=\sqrt{lim16-lim\frac{2}{n^{2}}}=\sqrt{16-0}=4$

c) $lim\frac{4}{2n+1} =lim\frac{\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{0}{2+0}=0$

d) $lim\frac{n^{2}-2n+3}{2n^{2}} = lim\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{n}+\frac{3}{2n^{2}} \right )=lim\frac{1}{2}-lim\frac{1}{n}+lim\frac{3}{2n^{2}}=\frac{1}{2}-0+0=\frac{1}{2}$

Bài 2: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n}+....$

b) $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...+\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}+...$

Hướng dẫn trả lời:

a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n}+.... = \frac{\frac{-1}{2}}{1-\left ( \frac{-1}{2} \right )}=\frac{-1}{3}$

b) $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...+\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}+... = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$

Bài 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444... dưới dạng một phân số

Hướng dẫn trả lời:

$0,444...=\frac{4}{9}$

Bài 4: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5)

a) Kí hiệu $a_{n}$ là diện tích của hình vuông thứ n và $S_{n}$ là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $a_{n}, S_{n} (n = 1,2,3,...)$ là tìm $limS_{n}$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu $p_{n}$ là chu vi của hình vuông thứ n và $Q_{n}$ là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $p_{n}$ là $Q_{n} (n=1,2,3,...)$ và tìm $limQ_{n}$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông)

Hướng dẫn trả lời:

a) $a_{n}= \frac{1}{2^{n-1}}$

$S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

b) $p_{n}=4.\frac{1}{\left (\sqrt{2}  \right )^{n-1}}$

$Q_{n}=4 + 4.\frac{1}{\sqrt{2}}+4.\frac{1}{(\sqrt{2})^{2}}+...+4.\frac{1}{\left (\sqrt{2}  \right )^{n-1}} = 4.\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} \approx 13,66$

Bài 5: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông $H_{0}$ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông $H_{0}$ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{1}$ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của $H_{1}$ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{2}$ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình $H_{n}(n = 1,2,3,...)$

Ta có: $H_{1}$ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$

$H_{2}$ có $5.5=5^{2}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{3^{2}}$;...

Từ đó, nhận được $H_{n}$ có $5^{n}$ hình vuông, mỗi hình có cạnh bằng $\frac{1}{3^{n}}$

a) Tính diện tích $S_{n}$ của $H_{n}$ và tính $limS_{n}$

b) Tính chu vi $p_{n}$ của $H_{n}$ và tính $limp_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $S_{n}= 5^{n}.\left ( \frac{1}{3^{n}} \right )^{2} = \frac{5^{n}}{9^{n}}=\left ( \frac{5}{9} \right )^{n}$

$limS_{n}=lim\left ( \frac{5}{9} \right )^{n} = 0$

b) $p_{n}=5^{n}.4.\frac{1}{3^{n}}=4.\left ( \frac{5}{3} \right )^{n}$

$limp_{n}=lim4.\left ( \frac{5}{3} \right )^{n} = +\infty $