Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chương III

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: $lim\frac{n+3}{n^{2}}$ bằng

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Hướng dẫn trả lời:

$lim\frac{n+3}{n^{2}} = lim\left (\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2}}  \right ) =lim\frac{1}{n}+lim\frac{3}{n^{2}}=0+0=0$

Đáp án: B

Câu 2: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$M= 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+...+\frac{1}{4^{n}}+...$ bằng

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{6}{5}$

Hướng dẫn trả lời:

$M = \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$

Đáp án: C

Câu 3: $\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}$ bằng

A: 0

B. 6

C. 3

D. 1

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x \to 3}(x+3)=3+3=6$

Đáp án: B

Câu 4: Hàm số:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+2x+m; x\geq 2\\3; x<2\end{matrix}\right.$ liên tục tại x = 2 khi

A. m = 3

B. m = 5

C. m = -3

D. m = -5

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x \to 2^{+}}f(x)= \lim_{x \to 2^{+}}(x^{2}+2x+m)= 2^{2}+2.2+m=m+8$

$\lim_{x \to 2^{-}}f(x)=\lim_{x \to 2^{-}}3= 3$

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì m + 8 = 3 Hay m = -5

Đáp án: D

Câu 5: $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{x}$ bằng:

A. 2

B. -1

C. 0

D. 1

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left ( 2-\frac{1}{x} \right ) = 2-\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=2-0=2$

Đáp án: A

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 6: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{3n-1}{n}$

b) $lim\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n}$

c) $lim\frac{2}{3n+1}$

d) $lim\frac{(n+1)(2n+2)}{n^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $lim\frac{3n-1}{n} = lim\left ( 3-\frac{1}{n} \right ) = 3-lim\frac{1}{n}=3-0=3$

b) $lim\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n} = lim\sqrt{\frac{n^{2}+2}{n^{2}}}=lim\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{1+lim\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{1+0}=1$

c) $lim\frac{2}{3n+1} = lim\frac{\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}= \frac{lim\frac{2}{n}}{3+lim\frac{1}{n}}=\frac{0}{3+0}=0$

d) $lim\frac{(n+1)(2n+2)}{n^{2}} = lim\frac{2n^{2}+4n+2}{n^{2}}=lim\left ( 2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}} \right )$

$= 2+lim\frac{4}{n}+lim\frac{2}{n^{2}}=2+0+0=2$

Câu 7: Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác $H_{1}$. Nối các trung điểm của $H_{1}$ để tạo thành tam giác $H_{2}$. Tiếp theo, nối các trung điểm của $H_{2}$ để tạp thành tam giác $H_{3}$ (Hình 1). Cứ như thế tiếp tục, nhận dược dãy tam giác $H_{1}, H_{2}, H_{3},...$

Tính tổng chu vi và tổng diện tích của các tam giác của dãy.

Hướng dẫn trả lời:

Cạnh của các tam giác $H_{1}, H_{2}, H_{3},...$ lần lượt là: $a; \frac{1}{2}a, \frac{1}{2^{2}}a;....$

Tổng chu vi của các tam giác là: 

$C = 3.a+3.\frac{1}{2}a+3.\frac{1}{2^{2}}a+....=3a.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+... \right )=3a.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}= 6a$

Diện tích tam giác $H_{1}$ là $\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

Diện tích tam giác $H_{2}$ bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $H_{1}$; Diện tích tam giác $H_{3}$ bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $H_{3}$;....

Tổng diện tích các tam giác là:

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\left ( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+.... \right )= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{3}a^{2}$

Câu 8: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)$

b) $\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}$

c) $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)=3.(-1)^{2}-(-1)+2=6$

b) $\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=\lim_{x \to 4}(x+4)=4+4=8$

c) $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2} = \lim_{x \to 2}\frac{(3-\sqrt{x+7})(3+\sqrt{x+7})}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})}$

$= \lim_{x \to 2}\frac{9-x-7}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})} = \lim_{x \to 2}\frac{-1}{3+\sqrt{x+7}} = \frac{-1}{3+\sqrt{2+7}} = \frac{-1}{6}$

Câu 9: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}$

b) $\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-1+0}{1+0}=-1$

b) $\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}=\lim_{x \to -\infty}\left ( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )=\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}-\lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x^{2}} = 0-0=0$

Câu 10: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4}$

b) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4} = +\infty$

b) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x} = -\infty$

Câu 11: Xét tính liên tục của hàm số

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+4}; x\geq 0\\2cosx; x<0\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời:

Khi $x \geq 0$: $f(x)=\sqrt{x+4}$ là hàm căn thức có tập xác định là $(-4;+\infty)$ nên f(x) liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$

Khi x < 0: f(x) = 2 cosx là hàm lượng giác nên f(x) liên tục trên khoảng $(-\infty;0)$

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x) = \lim_{x \to 0^{-}}2cosx= 2cos0=2$

$\lim_{x \to 0^{+}}f(x) = \lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x+4}=\sqrt{0+4}=2$

Suy ra: $\lim_{x \to 0}f(x) = 2= f(0)$ Hay f(x) liên tục tại x = 0

Vậy hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Câu 12: Cho hàm số:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5}; x \neq 5\\a; x = 5\end{matrix}\right.$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

Khi $x \neq 5$: $f(x)=\frac{x^{2}-25}{x-5}$ là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty;5) \cup (5;+\infty)$

Để f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thì f(x) liên tục tại x = 5. Hay $\lim_{x \to 5}f(x) = f(5)$

$\lim_{x \to 5}f(x)= \lim_{x \to 5}\frac{x^{2}-25}{x-5}=\lim_{x \to 5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\lim_{x \to 5}(x+5)=5+5=10$

f(5) = a

Suy ra: a = 10

Câu 13: Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiên tăng từ $10^{o}C$, mỗi phút tăng $2^{o}C$ trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút $3^{o}C$ trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo $^{o}C$ trong tủ theo thời gian t (tính theo phút) có dạng

$T(t)=\left\{\begin{matrix}10+2t; 0 \leq t\leq 60 \\ k-3t; 60<t \leq100\end{matrix}\right.$

(k là hằng số)

Biết rằng T(t) liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của k

Hướng dẫn trả lời:

T(t) liên tục trên tập xác định nên T(t) liên tục tại t = 60. Hay $\lim_{t \to 60}T(t)=T(60)$

$\lim_{t \to 60^{-}}T(t)=\lim_{t \to 60^{-}}(10+2t)=130$

$\lim_{t \to 60^{+}}T(t)=\lim_{t \to 60^{+}}(k-3t)=k-180$

$T(60)=10+2.60=130$

Suy ra: k-180 = 130.

Do đó, t = 310