Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 17: Hàm số liên tục

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hoạt động 1: Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-1}{x-1} nếu x\neq 1\\2 nếu x = 1 \end{matrix}\right.$

Tính giới hạn $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ và so sánh giá trị này với f(1)

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x+1)=2$

f(1) = 2

Suy ra $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)$

Luyện tập 1: Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\begin{Bmatrix}-x nếu x<0\\ 0 nếu x =0 \\ x^{2} nếu x >0 \end{Bmatrix}$ tại điểm $x_{0}=0$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}x^{2}=0$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}(-x)=0$

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=f(0)$

Vậy hàm số liên tục tại 0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Hoạt động 2: Cho hai hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}2x nếu 0\leq x\frac{1}{2}\\ 1 nếu \frac{1}{2}<x\leq 1 \end{matrix}\right.$ và $g(x)=\left\{\begin{matrix}x nếu 0\leq x\frac{1}{2}\\ 1 nếu \frac{1}{2}<x\leq 1 \end{matrix}\right.$ với đồ thị tương ứng như Hình 5.7

Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm $x=\frac{1}{2}$ và nhận xét sụ khác nhau giữa hai đồ thị

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}{lim}2x=1$

$\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}{lim}1=1$

$f(\frac{1}{2})=2\times \frac{1}{2}=1$

Vậy f(x) liên tục tại $x= \frac{1}{2}$

$\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}{lim}x= \frac{1}{2}$

$\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}{lim}1=1$

$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}=$

Vậy g(x) gián đoạn tại $x= \frac{1}{2}$

Đồ thị f(x) liên tục trên đoạn [0,1], đồ thị g(x) bị gián đoạn tại $x= \frac{1}{2}$

Luyện tập 2: Tìm các khoảng trên đó hàm số $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+2}$

Hướng dẫn trả lời: 

Tập xác định của f(x) là $(-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$. Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$

3. Một số tính chất cơ bản

Hoạt động 3: Cho hai hàm số $f(x)=x^{2}$ và g(x) = -x + 1

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1

b) Tính $L=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[f(x)+g(x)]$ và so sánh L với f(1) + g(1)

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}x^{2}=1$

$f(1)=1^{2}=1$

Vậy f(x) liên tục tại x = 1

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(-x+1)=0$

g(1)=-1+1=0

Vậy g(x) liên tục tại x = 1

b) f(1)+g(1)=1+0=1

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}[f(x)+g(x)]=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x^{2}-x+1)=1$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}[f(x)+g(x)]=f(1)+g(1)$

Vận dụng: Giải bài toán ở tình huống mở đầu

Hướng dẫn trả lời: 

Vận tốc trung bình trên quãng đường đi là: 180: 3 = 60 (km/h)

Vì vận tốc liên tục trong suốt thời gian chạy, có thời điểm vận tốc dưới trung bình và có thời điểm trên mức trung bình nên có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc bằng vận tốc trung bình là 60km/h

Bài tập

Bài tập 5.14: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và $\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2f(x)-g(x)]=3$. Tính g(1)

Hướng dẫn trả lời: 

Vì f(x) và g(x) liên tục tại x = 1 suy ra $2f(1)-g(1)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2f(x)-g(x)]=3$ suy ra g(1)=1

Bài tập 5.15: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng

a) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+5x+6}$

b) $f(x)=\left\{\begin{matrix}1+x^{2} nếu x<1\\ 4-x nếu x\geq 1 \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+5x+6}=\frac{x}{(x+2)(x+3)}$

Tập xác định của f(x): D = R \{-2;-3}

Suy ra f(x) liên tục trên $(-\infty ;-3),(-3;-2)$ và $(-2;+\infty )$

b) Tập xác định: D = R

Ta thấy $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(4-x)=3,\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x^{2})=2$. Do đó không tồn tại giới hạn $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$

Vậy hàm số gián đoạn tại 1

Bài tập 5.16: Tìm giá trị của tham số m để hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}sinx nếu x\geq 0\\ -x+m nếu x<0\end{matrix}\right.$ liên tục trên R

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}sinx=0$

Để hàm số liên tục trên R thì $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}sinx=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}(-x+m)=0\Rightarrow m=0$

Bài tập 5.17: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường đi chuyển

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a

Hướng dẫn trả lời: 

a) Gọi x (km, x > 0) là quãng đường khách di chuyển và y (đồng) là số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển x.

Với x ≤ 0,5, ta có y = 10 000.

Với 0,5 < x ≤ 30, ta có: y = 10 000 + 13 500(x – 0,5) hay y = 13 500x + 3 250.

Với x > 30, ta có: y = 10 000 + 13 500 . 29,5 + 11 000(x – 30) hay y = 11 000x + 78 250.

Vậy công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là

$y=\left\{\begin{matrix}1000, & 0<x\leq 0,5\\ 13500x+3250, & 0,5<x\leq 30\\ 11000x+78250, & x>30\end{matrix}\right.$

b) +) Với 0 < x < 0,5 thì y = 10 000 là hàm hằng nên nó liên tục trên (0; 0,5).

+) Với 0,5 < x < 30 thì y = 13500x + 3 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,5; 30).

+) Với x > 30 thì y = 11 000x + 78 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (30; +∞).

+) Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 0,5 và x = 30.

- Tại x = 0,5, ta có y(0,5) = 10 000;

$\underset{x\rightarrow 0,5^{-}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 0,5^{-}}{lim}10000=10000;$

$\underset{x\rightarrow 0,5^{+}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 0,5^{+}}{lim}(13500x+3250)=13 500 . 0,5 + 3 250 = 10 000.$

Do đó, $\underset{x\rightarrow 0,5^{-}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 0,5^{+}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 0,5}{lim}y=y(0,5)$ nên hàm số liên tục tại x = 0,5.

- Tại x = 30, ta có: y(30) = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

$\underset{x\rightarrow 30^{-}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 30^{-}}{lim}(13500x+3250)=13500.30+3250=408250;$

$\underset{x\rightarrow 30^{+}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 30^{+}}{lim}(11000x+78250)=11 000 . 30 + 78 250 = 408 250.$

Do đó, $\underset{x\rightarrow 30^{-}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 30^{+}}{lim}y=\underset{x\rightarrow 30}{lim}y=y(30)$ nên hàm số liên tục tại x = 30.

Vậy hàm số ở câu a liên tục trên (0; +∞).