Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 26 Khoảng cách

1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Hoạt động 1 trang 54 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, vì sao $MK > MH$ (H.7.74)

b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Với mỗi điểm K thuộc
(P), giải thích vì sao $MK \geq  MH$ (H.7.75)

Hướng dẫn giải

a) Vì H là hình chiếu của M trên đường thẳng a, nên MH là khoảng cách từ M đến a và MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến a, suy ra $MK > MH$.

b) Vì H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P), nên MH là khoảng cách từ M đến (P) và MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến (P)

Ta có $\overrightarrow{MH}$ vuông góc với (P) và $\overrightarrow{MK}$ là phân giác góc giữa $\overrightarrow{MH}$ và $\overrightarrow{MK}$. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{MK}$ và (P) lớn hơn hoặc bằng góc giữa $\overrightarrow{MH}$ và (P). Điều này có nghĩa là độ dài của $\overrightarrow{MK}$ lớn hơn hoặc bằng độ dài của $\overrightarrow{MH}$, và do đó ta có $MK \geq MH$.

Luyện tập 1 trang 55 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a, AA'= h (H.7.77).

a) Tinh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng R cách từ A đến BC'.

 Hướng dẫn giải

a) Gọi E là trung điểm của CC'. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') chính là khoảng cách từ A đến đoạn thẳng BE.

Ta có $\vec{AE}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AC'})$ nên $AC'=AA'+A'C'=h+AC \vec{AE}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AC'})$

$=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AA'}+\vec{A'C'})=\frac{1}{2}(\frac{h}{a}\vec{AB}+\frac{AC}{a}\vec{AB'})$

Ta biết rằng $\vec{AB}.\vec{AB'}=0 $ do $AB$ vuông góc với$AB'$ và $\vec{AC}.\vec{AB'}=0$ do $AC \perp AB'$. Từ đó, ta suy ra : 

$\vec{AE}.\vec{AB'}=\frac{1}{2}\vec{AB}.\vec{AC}+\frac{h}{2a}\left | \vec{AB} \right |^{2} $

Mặt khác, ta có thể 

$\vec{AB}.\vec{AC}=\left | \vec{AB} \right |\left | \vec{AC} \right |cos (\widehat{AB,AC})=a^{2}cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}a^{2}$

do đó

$\vec{AE}.\vec{AB'}=\frac{1}{4}a^{2}+\frac{h}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}$

Khoảng cách từ $A $đến đoạn thẳng $BE$ là:

$d(A,BE)=\frac{\left | \vec{AE} .\vec{AB'}\right |}{\vec{AB'}}=\frac{a}{4}+\frac{h}{\sqrt{2}}$

b) Ta có $\vec{BC'}=\vec{BB'}+\vec{B'C'}$ Vì  $BB' \perp BC'$ nên $ BB'. BC'=0 $ Mặt khác ta có:

$\vec{B'C'}. \vec{BB'}=(\vec{BB'}+\vec{B'C'}).\vec{BB'}$

$= \left | \vec{BB'} \right |^{2}+\vec{B'C'}.\vec{BB'}$

$=\left | \vec{BB'} \right |^{2}+\vec{B'C'}.\vec{BB'}cos \widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}}$

Do đó: 

$ \widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}}=\sqrt{1-cos^{2}(\widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}})}=\frac{\sqrt{2}a}{2b}$

Vậy tam giác ABC' là tam giác vuông cân tại C'.

Khoảng cách từ A đến BC' là:

$d(A, BC') = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC'}|}{|\overrightarrow{AB}|} $

2. KHOẢNG CÁCH GỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 2 trang 55 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M, N bất kì thuộc a và gọi A, B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).

Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).

Hướng dẫn giải

Vì a song song với (P), nên ta có thể lấy một đường thẳng tùy ý qua M và N và giao với (P) tại I. Khi đó, theo định nghĩa của hình chiếu, ta có AM và BN là hai đường thẳng vuông góc với (P) và AB và MN là hai đường thẳng chứa chúng. Do đó, AB//MN.

Vì AM và BN vuông góc với (P), ta có thể thấy rằng AMIN và BNIM là hai hình bình hành. Do đó, ta có:

AM=IN vàBN=IM

Từ 2 điều trên suy AB=MN.

Do đó, ABNM là một hình chữ nhật với cạnh AB bằng MN. Vì AM và BN là hai đường thẳng vuông góc với (P) nên khoảng cách từ A và B đến (P) cũng là bằng nhau. Theo định nghĩa, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách nhỏ nhất từ điểm đó đến các điểm trên mặt phẳng đó. Vì vậy, M và N có cùng khoảng cách đến (P).

Hoạt động 3 trang 56 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: 

a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.

Hướng dẫn giải

a) Khi một điểm M thay đổi trên đường thẳng m, khoảng cách từ M đến đường thẳng n không thay đổi.

b) Khi một điểm M thay đổi trên mặt phẳng P, khoảng cách từ M đến mặt phẳng Q không thay đổi. 

Luyện tập 2 trang 56 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA,SB,SC.

a) Tính d((MNP),(ABC)) và d(NP,(ABC)).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB=a. Tính d(A,(SBC)).

 Hướng dẫn giải

a) Trong hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = h

suy ra $d((MNP),(ABC))=h$

$d(NP,(ABC))=a\sqrt{2}$

b) Tam giác ABC ⊥ B va AB=a 

=> $d(A,(SBC))=AH=\frac{h}{\sqrt{2}}$

Vận dụng trang 57 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?

Hướng dẫn giải

Gọi ABCD là hình thang cân với AB=CD=2,28 và BC=AD=x là độ dài đường nối hai chân cột. Đường thẳng DE vuông góc với AB, trong đó D nằm trên BC và E nằm trên AD. Khi đó, ta có DE=xsin15^{\circ}$$

Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Khoang cách từ thanh ngang EF đến mặt đất chính là độ dái đoạn thắng MN.

Tính được $MN=AM−AN=ABcos15^{\circ}−CDcos15^{\circ}$ và $DE=xsin15^{\circ}, $ từ đó tính được khoảng cách từ thanh ngang $EF=DE+MN=xsin15^{\circ}+0,94$ (m)  

Để xe có chiều cao không quá 2,21m đi qua được ta có 

$x\leq \frac{2,21-0,94}{sin15^{\circ}}\approx 6,37m$

3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Hoạt động 4 trang 57 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).

a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) hay không?

b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không?

c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn giải

a) Vì a và a' đối xứng qua mặt phẳng (Q), nên mặt phẳng chứa a và a' cũng vuông góc với (Q).

b) Vì MN là hình chiếu của đoạn thẳng NB lên a. Vì a và b là hai đường chéo nhau, nên NB là đường cao của tam giác NAB. Do đó, MN⊥AB (vì là hình chiếu của NB lên a) và cũng vuông góc với b (vì là đường cao của tam giác NAB). Vậy, MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.

c) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) bằng độ dài đoạn thẳng NN', trong đó N' là hình chiếu của A lên (Q). Độ dài đoạn thẳng MN bằng độ dài đường thẳng NM', trong đó M' là hình chiếu của M lên đường thẳng b. Sử dụng định lý Pythagoras và các đường hình chiếu, ta có thể tính được khoảng cách giữa a và (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.

Khám phá trang 58 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).

Hướng dẫn giải

Để tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa đường thẳng a và b và khoảng cách từ điểm O đến b, ta sử dụng hình chiếu vuông góc và áp dụng định lý Pythagore. Ta có thể suy ra công thức:

$\left ( \frac{MN}{OH} \right )^{2}-1=\left ( \frac{d}{OH} \right )^{2}$

Trong đó, d là khoảng cách giữa a và mặt phẳng (P), oh là khoảng cách giữa b và mặt phẳng (P), MN là khoảng cách giữa a và b.

BÀI TẬP

Bài tập 7.22 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và $(SAD) \perp (ABCD)$.

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa $BC$ và $(SAD)$.

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $AB$ và $SD$.

 Hướng dẫn giải

Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Khi đó, $SH$ là đường cao của tam giác đều $SAD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AH$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. Suy ra $SH$ vuông góc với mặt phẳng đáy $ABCD$. Ta có:

$SH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Gọi $O$ là trung diểm của $SD$.Khi đó $OB//(SAD)$ và$OB=\frac{\sqrt{2}}{2}a$. Ta có khoảng cách từ $C$ dến $(SAD)$. Để làm được điều này, ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(BCD)$. Gọi $E$ là iao điểm của $BD$ và $SH$. Khi đó $SE$ song song với $BC$ và $BE= \frac{1}{\sqrt{2}}a$

$CE=BE-BC=\frac{1}{\sqrt{2}}a-a=(\frac{1}{\sqrt{2}}-1)a$

Ta lại có $OE$ vuông góc với (SAD) và $OE= \frac{1}{2} SH= \frac{\sqrt{3}}{4}a$ Khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ là khoảng cách từ $C$ đến $OE$ hay

$d_{BC,(SAD)}=\frac{CE}{sin\widehat{CEO}}=\frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}a=(2+\sqrt{2})a$

c) Đường vuông góc chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $\delta$ đi qua trung điẻm của $AC$ và $BD$. Suy ra $\delta$ và $AB$ 

Gọi $M$ là trung điểm cua $AC$ và $N$ là trung điểm ủa $BD$. Khi đó, $SM$  vuông góc với $(SAB)$ và $SN$ vuông góc với $(SCD)$ . Suy ra $\delta$ vuông góc với cả hai mặt phẳng 

$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Khoảng cách giữa $\delta$ và $AB$ bằng khoảng cách từ điểm $
S$ đến đường thẳng $AB$ theo công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường:

$d_{S,AC}=\frac{\left | SA.AB.SB \right |}{2S_{SAB}}=\frac{\sqrt6}{3}a$

Bài tập 7.23 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, BC = c.

a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

Hướng dẫn giải

Gọi $O$ là trung điểm của $BB′$. Ta cần tính khoảng cách từ $C$ đến $(BB′D′D)$, hay khoảng cách từ $C$ đến $OO′$. Khoảng cách này bằng khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(BO′O)$ nhân với $cos \widehat{CO'O} 

$cos \widehat{CO'O}=\frac{CO'}{CC'}=\frac{\frac{1}{2}c}{\sqrt{a^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}+(\frac{1}{2}c)^{2}}}$

Để xác định khoảng cách từ $C$ đến $(BB′D′D)$, ta cần biết $d(O′,(BO′O))$. Khi đó, khoảng cách cần tìm chính là:

$d_{CC',BB'D'D}=d(C,(BO'O))cos \widehat{CO'O}$

$=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}+(\frac{1}{2}c)^{2}}}.\frac{\frac{1}{2}c}{\sqrt{a^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}+(\frac{1}{2}c)^{2}}}$

b) Đường vuông góc chung của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(B'C'D')$ la đường thẳng $\delta$ di qua trung điểm của $BD$ và song song với $ABCD$. 

Gọi $M$ là trung điểm của $BD,N$ là trung điểm của $B'D',P$ là trung điểm của $AD,Q$ là trung điểm $A'C'$. Khi đó $\delta$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ qua $M$, suy ra $\delta$ vuông góc với $AC$ 

$MN=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2},PQ=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$

$d_{\Delta ,AC}=\frac{\left | AM.AC.CM \right |}{2S_{ABC}}=\frac{\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2})}}{2c}$

Bài tập 7.24 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

 Hướng dẫn giải

a) Gọi $O$ là trung điểm của $AC$, ta có $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$ (do $ABCD$ là hình cầu). Vì vậy, $OMCD$ là hình bình hành.

Suy ra, $OM//CD$. Tương tự, ta chứng minh được $ON//AB$. Do đó, $MN$ là đường chéo của hình bình hành $OMCD$, nên $MN$ vuông góc với $CD$ và $AB$.

b)Gọi $O$ là tâm của hình cầu, ta có $OA=OB=OC=OD$, do các cạnh đều bằng nhau. Từ đó, ta suy ra các tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ đều đồng dạng.

Mặt khác, ta biết $OM=ON$, do $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Suy ra, tam giác $OMN$ cũng đồng dạng với $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$.

Do đó, các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều bằng nhau, mỗi góc bằng $\frac{\pi}{2}$ (do $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ là tam giác vuông), nên chúng đều vuông góc với nhau

Bài tập 7.25 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d(D'AC), (BC'A')).

 Hướng dẫn giải

a) Gọi $O$ là tâm của hình lập phương, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $A'C'$. Ta có $OM // D'A'C'$ và $ON// BC'A'$ do $OM$ và $ON$ là đường trung bình của các cạnh tương ứng.

Do đó, $(D'AC) // (BC'A')$. Từ đó, ta có $DB' \perp (D'AC)$ và $DB' \perp (BC'A')$, vì $DB'$ song song với cạnh $AA'$ và vuông góc với mặt phẳng chứa $AA'$.

 Bài tập 7.26 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.

 Hướng dẫn giải

Chiều dài các chân của giá đỡ: AB = BC = CD = 129 cm
Khoảng cách giữa các gốc chân: AE = BE = CE = 110 cm

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AE, ta có: AI = IE = 55 cm.

Ta có thể tính toán chiều cao h của giá đỡ theo hai cách sau:

Xét tam giác AIF, ta có:

IF² + AI² = AF²

Vì IF = h và AF = AB = 129 cm, nên ta có:

h² + 55² = 129²

⇒ h² = 129² - 55²

⇒ h ≈ 119.5 cm

Vậy chiều cao của giá đỡ là khoảng 119.5 cm.

Bài tập 7.27 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi năm trong bề nước.

 Hướng dẫn giải

Khi bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang, thì mặt nước cũng sẽ có cùng độ cao trên toàn bể nước. Vì vậy, để đo độ sâu của bể, ta có thể đo khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể.

Khi thả quả dọi vào bể nước, nó sẽ chìm dưới mặt nước và chạm đến đáy bể. Khi kéo quả dọi lên, ta sẽ thấy một đoạn dây dọi nằm trong bề nước và một đoạn dây dọi ở ngoài bề nước. Đoạn dây dọi nằm trong bề nước có độ dài bằng khoảng cách từ mặt nước đến chỗ quả dọi chạm đáy bể. Do đó, để đo độ sâu của bể, ta chỉ cần đo độ dài của đoạn dây dọi nằm trong bề nước.

Công thức để tính độ sâu của bể nước sẽ là:

Độ sâu bể = chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bề nước