Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 27 Thể tích

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên:

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giác SAH vuông tại H 

⇒ $SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Do đó, thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a là:

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{0}.h=\frac{1}{3}a^{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Bài tập 7.29 trang 63 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA'= 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, $\widehat{ABC}=150^{\circ}.$ Tính thể tích của khối lăng trụ.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của SA ta có $OB = \left ( \frac{b}{2} \right )^{2} $và $SB=\sqrt{a^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông SBO, ta có:

$h=SO=\sqrt{SB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}-\frac{a}{2}$

Công thức tính thể tích khối chóp đều, ta có:

$V=\frac{1}{3}Sđáy.h.\frac{1}{3}a^{2}\left ( a^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-\frac{a}{2} \right )$

=> $V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$

Bài tập 7.30 trang 63 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau.

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng 60∘

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng 45∘.

Hướng dẫn giải

a) Thể tích của khối chóp theo công thức :

$V=\frac{1}{3}Sday.h=36\sqrt{3}$ $cm^{3}$

b) Công thức tính thể tích của khối chóp, ta có:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}.6^{2}.h=3h$ $cm^{3}$

Mà Trong đó $\widehat{BDC}=45^{\circ}$ và b=c, do đó $b=6\sqrt{\frac{2}{3}}$

Ta sẽ tính chiều cao h bằng cách sử dụng định lí Pytago trong tam giác BDC:

$h^{2}=BD^{2}-\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}=6$

Vậy thể tích của khối chóp là $3h=3\sqrt{6} (cm^{3})$

Bài tập 7.31 trang 63 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Hướng dẫn giải

Vì đáy là tam giác đều, nên ta có:

Sđáy$=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

Tiếp theo, để tính chiều cao của khối lăng trụ, ta xem xét tam giác đều A'BC. Từ đó, ta dễ dàng tính được:

$h + AA'-\frac{b}{2}=b\sqrt{3}-\frac{b}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}b$

Do đó, thể tích của khối lăng trụ là:

$V = Sđáy = \frac{\sqrt{3}}{4}.a^{2}.\frac{3\sqrt{3}}{8}a^{2}b$

Bài tập 7.32 trang 63 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp ) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Hướng dẫn giải

a) Chiếc thùng có dạng hình chóp cụt vì khi bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc của tấm tôn vuông, sẽ tạo thành bốn tam giác vuông cân. Khi đó, khi bác hàn các mép lại để được thùng, bốn tam giác vuông cân này sẽ gấp lên và gắn vào nhau, tạo thành hình chóp cụt.

b) Ta có AB = CD = 3 dm và A′B′= C′D′= 8 dm. Ta xét tam giác A′BC. Đặt BE là đường cao của tam giác A′BC, ta có $BE^{2} = A′B′^{2}−AB^{2}=8^{2}−3^{2}=55$. Suy ra $BE=\sqrt{55}$ dm. Vậy cạnh bên của thùng là$ BC=2BE=2\sqrt{55}$ dm.

c, Gọi H là một điểm trên A′C′ sao cho HH′ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó, ta cần tìm giá trị lớn nhất của đường HH′. Ta có A′C′=8 dm,$ AH′=A′C′−A′H′= 8-\frac{8}{\sqrt{2}}=8\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )$ dm, vì A′H′ là nửa đường chéo của hình vuông ABCD. Ta có $HH′≤AH′=8\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \right ) dm$, do đó chiều cao của hình chóp cụt không lớn hơn 8(1−12√) dm. Vậy thể tích lớn nhất của thùng là:

$V=\frac{1}{3}Sday.h$ ≤ $\frac{1}{3}.9.8(1−\frac{1}{\sqrt{2}})dm^{3}$