Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

1. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Bài 1: Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau:

Hướng dẫn trả lời:

a) $S_{1}={1}$

b) $S_{2}={-1; 1}$

c) ĐKXĐ: $x\geq0; S_{3}={1}$

=> $S_{1}=S_{3}\neq S_{2}$

Bài 2: Chỉ ra lỗi sai trong ...

Hướng dẫn trả lời:

Phép biến đổi đầu tiên không là biến đổi tương đương, do khi chia cả hai vế của phương trình cho x=0  thì làm mất đi nghiệm này.

Phương trình đầu tiên có hai nghiệm $S_{1}={0; 2}$ còn phương trình thứ hai chỉ có nghiệm $S_{2}={0}$.

2. PHƯƠNG TRÌNH SINX=M

Bài 1:

a) Có giá trị nào của x...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\forall x \in R$, ta có $-1\leq sinx \leq1$

=> Không có giá trị nào của x để sinx=1,5.

b) Đường thẳng vuông góc trục sin tại điểm 0,5 cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M và N

=> M và N là điểm biểu diễn các góc lượng giác x có sinx=0,5.

Các góc lượng giác đó lần lượt là $\frac{\pi}{6}+k2\pi$ và $\frac{5\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ <=>  $sinx=sin\frac{\pi}{3}$

<=> $x=\frac{\pi}{3}+k2\pi, k \in Z$ hoặc $x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in Z$

b) $sin(x+30^{\circ})=sin(x+60^{\circ})$

<=> $ x+30^{\circ}= x+60^{\circ}+k360^{\circ}, k \in Z$ hoặc

$x+30^{\circ}=180^{\circ}-x-60^{\circ}+k360^{\circ}, k \in Z$

<=> $x+30^{\circ}=120^{\circ}-x+k360^{\circ}, k \in Z$

<=> $x=45^{\circ}+k180^{\circ}, k \in Z$

3. PHƯƠNG TRÌNH COSX=M

Bài 1: Trong Hình 3, những điểm nào trên...

Hướng dẫn trả lời:

M và N là điểm biểu diễn các góc lượng giác x có $cosx=-\frac{1}{2}$

Điểm M, N lần lượt có các góc lượng giác là $\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ và $-\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in Z$

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) cosx=-3 vô nghiệm

b) $cosx=cos15^{\circ}$

<=> $x+15^{\circ}+k360^{\circ}, k \in Z$ hoặc

$x=-15^{\circ}+k360^{\circ}, k \in Z$

c) $cos(x+\frac{\pi}{12})=cos\frac{3\pi}{12}$

<=> $x+\frac{\pi}{12}=\frac{3\pi}{12}+k2\pi, k \in Z$ hoặc

$x+\frac{\pi}{12}=-\frac{3\pi}{12}+k2\pi, k \in Z$

<=> $x=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$ hoặc

$x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi, k \in Z$

4. PHƯƠNG TRÌNH TANX=M

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho T là điểm...

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $T(1; \sqrt{3})$ cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M và N

M và N là điểm biểu diễn góc lượng giác lần lượt là $\frac{\pi}{3}+k\pi, k \in Z$, $-\frac{2\pi}{3}+k\pi, k \in Z$

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) tanx=0

<=> $x=k\pi, k \in Z$

b) $tan(30^{\circ}-3x)=tan75^{\circ}$

<=> $30^{\circ}–3x=75^{\circ}+k180^{\circ}, k \in Z$

<=> $x=-15^{\circ}+k60^{\circ}, k \in Z$

5. PHƯƠNG TRÌNH COTX=M

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy...

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm C(-1; 1) cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M và N.

Công thức tổng quát của các góc lượng giác đó là $-\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in Z$

Bài 2: Giải các phương trình sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) cotx=1

<=> $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in Z$

b) $cotx(3x+30^{\circ})=tan75^{\circ}$

<=> $3x+30^{\circ}=75^{\circ}+k180^{\circ}, k \in Z$

$x=15^{\circ}+k60^{\circ}, k \in Z$

6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) cosx=0,4

<=> $x\approx 1,16+k2\pi, k \in Z$ hoặc $x\approx -1,16+k2\pi, k \in Z$

$S={1,16+k2\pi; -1,16+k2\pi, k \in Z}$

b) $tanx=\sqrt{3}$

<=> $x=\frac{\pi}{3}+k\pi, k \in Z$

$S=\frac{\pi}{3}+k\pi, k \in Z$

Bài 2: Quay lại bài toán khởi động...

Hướng dẫn trả lời:

|x|=10 <=> $17cos5\pi t=10$ hoặc $17cos5\pi t=-10$

+) $17cos5\pi t=10$

<=> $cos5\pi t=\frac{10}{17}$

<=> $5\pi t\approx0,94+k2\pi, k \in Z$ hoặc $5\pi t\approx-0,94+k2\pi, k \in Z$

<=> $t\approx0,06+0,4k, k \in Z$ hoặc $t\approx-0,06+0,4k, k \in Z$

+) $17cos5\pi t=-10$

<=> $cos5\pi t=-\frac{10}{17}$

<=> $5\pi t\approx2,2+k2\pi, k \in Z$ hoặc $5\pi t\approx-2,2+k2\pi, k \in Z$

<=> $t\approx0,14+0,4k, k \in Z$ hoặc $t\approx-0,14+0,4k, k \in Z$

7. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin2x=\frac{1}{2}$

<=> $2x=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$ hoặc $2x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$

<=> $x=\frac{\pi}{12}+k\pi, k \in Z$ hoặc $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi, k \in Z$

b) $sin(x-\frac{\pi}{7})=sin\frac{2\pi}{7}$

<=> $x-\frac{\pi}{7}=\frac{2\pi}{7}+k2\pi, k \in Z$ hoặc $x-\frac{\pi}{7}=\frac{5\pi}{7}+k2\pi, k \in Z$

<=> $x=\frac{3\pi}{7}+k2\pi, k \in Z$ hoặc $x=\frac{6\pi}{7}+k2\pi, k \in Z$

c) $sin4x-cos(x+\frac{\pi}{6})=0$

<=> $sin4x=cos(x+\frac{\pi}{6})$

<=> $sin4x=sin(\frac{\pi}{3}-x)$

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos(x+\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

<=> $x+\frac{\pi}{3}$ = $\frac{\pi}{6}+k2\pi$ , $k \in Z$

hoặc $x+\frac{\pi}{3}$ = $-\frac{\pi}{6}+k2\pi$ , $k \in Z$

<=> $x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi$ , $k \in Z$

hoặc $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$ , $k \in Z$

b) $cos4x=cos\frac{5\pi}{12}$

<=> $4x=\frac{5\pi}{12}+k2\pi$ , $k \in Z$ 

hoặc  $4x=-\frac{5\pi}{12}+k2\pi$ , $k \in Z$

<=> $x=\frac{5\pi}{48}+k\frac{\pi}{2}$ , $k \in Z$ 

hoặc  $x=-\frac{5\pi}{48}+k\frac{\pi}{2}$ , $k \in Z$

c) $cos^{2}x=1$

<=> cosx=1 hoặc cosx=-1

<=> $x=k\pi$, $k \in Z$

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $tanx=tan55^{\circ}$ (ĐKXĐ: $x\neq90^{\circ}+k180^{\circ}$)

<=> $x= 55^{\circ}+k180^{\circ}, k \in Z$

b) $tan(2x+\frac{\pi}{4})=0$ (ĐKXĐ: $x\neq\frac{\pi}{8}+k\pi, k \in Z$)

<=> $2x+\frac{\pi}{4}=k\pi, k \in Z$

<=> $x=-\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, k \in Z$

Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $cot(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}=-1$ (ĐKXĐ: $x\neq\frac{-\pi}{2}+k2\pi, k \in Z$)

<=> $\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in Z$

<=> $x=-\pi+k2\pi, k \in Z$

b) $cot3x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ (ĐKXĐ: $x\neq k\frac{\pi}{3}, k \in Z$)

<=> $3x=-\frac{\pi}{3}+k\pi, k \in Z$

<=> $x=-\frac{\pi}{9}+k\frac{\pi}{3}, k \in Z$

Bài 5: Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau...

Hướng dẫn trả lời:

cosx=sinx <=> tanx=1 (hiển nhiên $cosx\neq0$ )

<=> $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in Z$

Bài 6: Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay...

Hướng dẫn trả lời:

$s=-5\sqrt{3}$

<=> $10sin(10t+\frac{\pi}{2})$ = $-5\sqrt{3}$

<=> $sin(10t +\frac{\pi}{2})$ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

 <=> $10t +\frac{\pi}{2}$ = $-\frac{\pi}{3}+k2\pi$ , $k \in Z$

Hoặc $10t +\frac{\pi}{2}$ = $\frac{4\pi}{3}+k2\pi$ , $k \in Z$ 

<=> $t=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{5}$, $k \in Z$  

Hoặc $t=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{5}$, $k \in Z$ 

Vậy tại $t=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{5}$, $k \in Z$ và $t=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{5}$, $k \in Z$ thì $s=-5\sqrt{3}$

Bài 7: Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng...

Hướng dẫn trả lời:

a) Góc quay của đèn hải đăng sau t giây là $\alpha=\frac{\pi}{10}t$ rad.

=> $y_{M}=tan\alpha=tan\frac{\pi}{10}t$ (km).

b) Đèn chiếu vào ngôi nhà N <=> $y_{M}=-1$ hay $tan\frac{\pi}{10}t=-1$.

$tan\frac{\pi}{10}t=-1<=>\frac{\pi}{10}t=\frac{3\pi}{4}+k\pi, k \in Z$ (vì t>0 nên ta chi xét $k\geq0$)

<=> $t=7,5+10k, k \in N$.