Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài: Bài tập cuối chương IV

A - TRẮC NGHIỆM

Bài tập 4.35: Cho đường thẳng...

Hướng dẫn giải:

Đáp án C. 

Lý thuyết: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Bài tập 4.36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành...

Hướng dẫn giải:

Đáp án B. 

Hình bình hành ABCD có AC∩BD=O

Xét ∆SBD có 

M là trung điểm của SD

O là trung điểm của BD 

=> MO là đường trung bình của ∆SBD => MO//SB

O∈mpACM;M∈mp(ACM) => mp(ACM)⊃OM.

Mà SB//OM => SB//mp(ACM)

Bài tập 4.37: Cho hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′...

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: AA'//BB'//CC'//DD' (ABCD.A'B'C'D' là hình hộp)

Xét tứ giác BDD'B' có

 DD' // BB' và DD' = BB' 

=> BDD'B' là hình bình hành => B'D' // BD hay B'D' //mp (BDC').

Lại có: A'B' // C'D' và A'B' = C'D' (A'B'C'D' là hình bình hành)

A'B' // AB và A'B'=AB (ABB'A' là hình bình hành)

=> AB // C'D' và AB = C'D' 

Mà BC' // AD' (ABC'D' là hình bình hành). 

=> AD' //mp(BDC').

mp(AB'D') có 

B'D'∩AD';B'D'//mp(BDC); AD'//mp(BDC')

=> mp(AB'D')//mp(BDC').

Bài tập 4.38: Cho ba mặt phẳng...

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có: (P), (Q), (R) đôi một song song

=> $\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{BC}{B'C'}$=$\frac{AC}{A'c'}$(định lí Thalès)

=>$\frac{A'B'}{B'C'}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$

Bài tập 4.39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy...

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi AC∩BD=O 

mp(SBD) có: SO∩MN=J

mp(SAC) có: AJ∩SC=K

Vì JMN => Jmp(AMN) => KAJ => Kmp(AMN)

Do đó SC∩mpAMN=K.

Xét ∆SBD có: 

M là trung điểm của SB

N trung điểm của SD 

=> MN là đường trung bình ∆SBD => MN//BD hay NJ//DO

Xét ∆SDO: 

NJ//DO; N là trung điểm SD => J là trung diểm SO

Trong mp(SAC): Kẻ OE//AK, (ESC)

Xét ∆SOE : 

JK//OE =>$\frac{SK}{SE}$=$\frac{SJ}{SO}$=$\frac{1}{2}$(định lí Thalès)

Do đó, K là trung điểm của SE

Chứng minh tương tự trong tam giác CAK => E là trung điểm của CK.

Vậy SK = KE = CE =>$\frac{SK}{SC}$=$\frac{1}{3}$

Bài tập 4.40: Cho hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′...

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Ta có:

+) B' là hình chiếu song song của chính nó lên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (1).

+) AA'//BB'//CC'//DD' (ABCD.A'B'C'D' là hình hộp)

Vì DD' // AA' (cmt) => D' là hình chiếu song song của D lên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (2).

Xét hình bình hành BCC'B' có 

M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C' 

=>MM' là đường trung bình của hình bình hành => MM' // CC'

=> MM' // AA' (// CC')

Vậy M' là hình chiếu song song của điểm M lên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (3).

Từ (1), (2) và (3) => ∆B'D'M' là hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA'.

B - TỰ LUẬN

Bài tập 4.41: Cho hình chóp S.ABCD...

Hướng dẫn giải:

a) Gọi AD∩BC=K

Ta có: SADSBC=SK

b) SABSAC=d, ở đó d là đường thẳng đi qua S và // AB.

c) SACSBD=SO

Bài tập 4.42: Cho hình lăng trụ tam giác...

Hướng dẫn giải:

a) Gọi Q là trung điểm của CC', K là giao điểm của QN và B'C 

=> K=B'C∩mp(MNP)

b) 

Xét ∆A'AB có 

P là trung điểm của AA'

M là trung điểm của AB

=> PM là đường trung bình của ∆A'AB => PM // A'B hay PD // A'B.

Xét tứ giác A'PDB

PD // A'B (cmt)

A'P // BD (vì AA' // BB' ).

=> A'PDB là hình bình hành => A'P = BD.

Mà P là trung điểm của AA' nên A'P=$\frac{1}{2}$AA' => BD=$\frac{1}{2}$AA'

Mà P là trung điểm của AA' nên A'P=$\frac{1}{2}$AA' => BD=$\frac{1}{2}$AA'.

Lại có AA' = BB' (ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác).

=> BD=$\frac{1}{2}$BB' (1) => $\frac{BD}{B'D'}$=$\frac{1}{3}$(2).

Gọi E là trung điểm của B'C. Vì N là trung điểm của BC, do đó EN là đường trung bình của tam giác BB'C => EN // BB' và EN=$\frac{1}{2}$BB' (3)

Từ (1) và (3) suy ra EN = BD (4).

Từ (2) và (4) suy ra $\frac{EN}{B'D}$=$\frac{1}{3}$.

Xét ∆KDB' có 

EN // B'D (vì EN // BB')

=> $\frac{KE}{KB}$=$\frac{EN}{B'D}$=$\frac{1}{3}$ (định lí Thalès)

=> KE=$\frac{1}{3}$KB'→KE=$\frac{1}{2}$EB'

Mà EB' = EC (E là trung điểm của B'C).

Do đó, KE=$\frac{1}{2}$EC => K là trung điểm của EC. Khi đó KC=$\frac{1}{2}$EC.

Mà EC=$\frac{1}{2}$B'C => KC=$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$B'C=$\frac{1}{4}$B’C.

Từ đó suy ra KC=$\frac{1}{3}$KB'

Vậy KB'KC=3

Bài tập 4.43: Cho hình chóp S.ABCD...

Hướng dẫn giải:

a) KM//CD với K∈SD => K=SD∩(ABM); $\frac{SK}{SD}$=$\frac{SM}{SC}$=$\frac{1}{3}$

b) Xét tứ giác AKMN, có:

KM//AN ; KM=AN => AKMN là hình bình hành

=> MN//AK mà AK(SAD) => MN//(SAD)

Bài tập 4.44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy...

Hướng dẫn giải:

a) AG; CK cùng đi qua trung điểm P của SD.

Trong ∆ACP có GK//AC mà AC(ABCD) => GK//(ABCD)

b) MN//AB, EF//CD, AB//CD => MN//EF

Tương tự ta chứng minh được MF//NE

Xét tứ giác NMEF, có:

MN//EF (cmt)

MF//NE (cmt)

=> NMEF là hình bình hành.

Bài tập 4.45: Cho hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: BD//B'D' (BB'D'D là hình bình hành)

=> BD//(CB'D') mà A'B//CD' hay A'B//(CB'D')

=> (A'BD)//(CB'D')

Lấy K là trung điểm AB => (MNK)//(BB'D'D) => MN//(BB'D'D)

b) AC∩BD=O => AO là đường trung tuyến ∆A'BD

Hình bình hành ACC'A' có: A'O∩AC'=G => G=AC'∩(A'BD)

Hình bình hành ACC'A' có: O là trung điểm AC => G là trọng tâm ∆ACA'

=>$\frac{A'G}{A'O}$=$\frac{2}{3}$=> G là trọng tâm ∆A'BD

Bài tập 4.46: Cho tứ diện ABCD...

Hướng dẫn giải:

a) mp(P) đi qua M và // BC và AD.

Kẻ MN//BC , (NAC), MQ//AD, (Q∈BD), NK//AD, (K∈CD) 

=> K là giao điểm của CD với (P)

b) Ta có: $\frac{KC}{CD}$=$\frac{CN}{AC}$=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{3}{4}$