Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1. Phương trình mũ

Bài 1: Xét phương trình:…

Hướng dẫn giải:

a) $2^{x+1}$=$\frac{1}{4}$ 

=> $2^{x+1}$=$2^{-2}$

b) x+1=-2 ⇔x=-3 

Bài 2: Giải các phương trình sau…

Hướng dẫn giải:

a) $2^{3x-1}$ = $\frac{1}{2^{x+1}}$

=> $2^{3x-1}$=$2^{-(x+1)}$ 

=> 3x-1=-(x+1)

=> x=0

b) 2$e^{2x}$=5

=>$e^{2x}$=$\frac{5}{2}$

=> 2x=ln$\frac{5}{2}$ 

=> x=$\frac{1}{2}$ln$\frac{5}{2}$  

2. Phương trình lôgarit

Bài 1: Xét phương trình:…

Hướng dẫn giải:

a) 2$log_{2}x$ =-3 => $log_{2}x$=-$\frac{3}{2}$

b) x=-$\frac{3}{2}$

=>x=$2^{\frac{-3}{2}}$

=> x=$\sqrt{2}^{(-3)}$ => x=$\sqrt{\frac{1}{8}}$

Bài 2: Giải các phương trình sau…

Hướng dẫn giải:

a) 4-log⁡(3-x)=3 (ĐK: x<3)

⇔log⁡(3-x)=1 

⇔3-x=10 

x=-7(TM) 

Vậy phương trình có nghiệm x=-7.

b) x+2 +x-1 =1 (ĐK: x>1)

=>$log_{2}$⁡[(x+2)(x-1)]=1

⇔(x+2)(x-1)=2 

=> x=$ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$(TM) hoặc x=$ \frac{-1-\sqrt{17}}{2}$(Không TM)

Vậy phương trình có nghiệm x=$ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$

3. Bất phương trình mũ

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số… 

Hướng dẫn giải:

Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y=$2^{x}$ nằm phía trên đường thẳng y=4 là (2;+∞).

Bài 2: Giải các bất phương trình sau…

Hướng dẫn giải:

a) $0,1^{2x-1}$≤$0,1^{2-x}$

⇔2x-1≥2-x x≥1 

b) 3.$2^{x+1}$≤1

⇔ $2^{x+1}$≤$\frac{1}{3}$ ⇔ x+1≤$log_{2}\frac{1}{3}$

⇔ x≤-$log_{2}3$-1⇔x≤-$log_{2}6$

4. Bất phương trình lôgarit

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số… 

Hướng dẫn giải:

Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y=x  nằm phía trên đường thẳng y=2 là: 4;+∞

Bài 2: Giải các bất phương trình sau…

Hướng dẫn giải:

a) $log_{\frac{1}{7}}$(x+1)>$log_{7}$(2-x)  (Điều kiện: -1<x<2)

⇔$log_{7^{-1}}$(x+1)>$log_{7}$⁡(2-x)  

⇔ $log_{7}$$(x+1)^{-1}$>$log_{7}$⁡(2-x)

⇔$(x+1)^{-1}$>2-x

⇔ $ \frac{1}{x+1}$ -2+x>0

⇔  $ \frac{x^{2}-x-1}{x+1}$ >0

Mà -1<x<2 nên x+1>0 => $(x)^{2}$-x-1>0⇔ x<$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc x>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Kết hợp điều kiện: -1<x<$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$<x<2

b) 2log⁡(2x+1)>3 (Điều kiện: x>$\frac{-1}{2}$)

⇔  log⁡(2x+1)>$\frac{3}{2}$

⇔  2x+1>10$\sqrt{10}$

⇔  x>$\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$

Kết hợp điều kiện: x>$\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$

Bài 3: Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa)…

Hướng dẫn giải:

a) Ở độ cao h=4, ta được:

ln($\frac{p}{10}$)=-$\frac{4}{7}$

=>$\frac{p}{100}$ =$(e)^{\frac{4}{7}}$ => p=100 $(e)^{\frac{-4}{7}}$≈56,47 (kPa)

b) Ở độ cao trên 10 km thì h>10

=> ln$\frac{P}{100}$=-$\frac{h}{7}$ => p<100$(e)^{\frac{-10}{7}}$≈23,97(kPa)

5. Bài tập

Bài 6.20: Giải các phương trình sau…

Hướng dẫn giải:

a) $(3)^{x-1}$=27

=> $(3)^{x-1}$=$(3)^{3}$=>x=4

b) $(100)^{2x^{2}-3}$=$(0,1)^{2x^{2}-18}$

=> $(10)^{4x^{2}-6}$=$(10)^{-2x^{2}+18}$ => $(4x)^{2}$-6=-$(2x)^{2}$+18 => x=±2.

c) $\sqrt{3}$$(e)^{3x}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

=> 3x=ln$\frac{1}{\sqrt{3}}$

=> x=-$\frac{1}{6}$ln3

d) $(5)^{x}$ =$(3)^{2x-1}$

=> $log_{3}5^{x}$=$log_{3}3^{2x-1}$

=> x$log_{3}5$=2x-1⇔x=$\frac{1}{2-log_{3}5}$

Bài 6.21: Giải các phương trình sau…

Hướng dẫn giải:

a) log⁡(x+1)=2 (Điều kiện: x>-1)

x+1=$10^{2}$=>x=99.

b) 2$log_{4}x$+$log_{2}$(x-3)=2 (Điều kiện: x>3)

=> $log_{2}x$+$log_{2}(x-3)$=2

=> xx-3 =2 

=> x-3=4 => x=-1 (KTM) x=4 (TM)  

c) ln x +ln⁡(x-1)=ln⁡4x (Điều kiện: x>1) 

lnx-1 =ln 4x  

x(x-1)=4x[x=0 (KTM) x=5 (TM)  

d) ($x^{2}$-3x+2)=$log_{3}(2x-4)$

(Điều kiện: x>2) 

=> $x^{2}$-3x+2=2x-4

$x^{2}$ -5x+6=0

=> x=2 (KTM) hoặc x=3 (TM)

Bài 6.22: Giải các bất phương trình sau…

Hướng dẫn giải:

a) $0,1^{2-x}$ > $0,1^{4+2x}$

=> 2-x<4+2x => x>-$\frac{2}{3}$

b) 2.$5^{2x+1}$≤3

=> $5^{2x+1}$≤$\frac{3}{2}$ ⇔2x+1≤$\frac{3}{2}$

=> x≤ $\frac{1}{2}$ ($log_{5}\frac{3}{2}$-1) => x≤$log_{5}\frac{\sqrt{30}}{10}$

c) $log_{3}$(x+7) ≥-1  (Điều kiện: x>-7)

=> x+7 ≥ $\frac{1}{3}$ => x≥$\frac{-20}{3}$

d) $log_{0,5}$(x+7)≥$log_{0,5}$⁡(2x-1) (Điều kiện: x>$\frac{1}{2}$)

=> x+7 ≤ 2x-1 ⇔ x ≥ 8.

Bài 6.23: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5%...

Hướng dẫn giải:

Thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) là: 

A≥800 ⇔ 500.$1,075^{n}$ ≥ 800 ⇔ $1,075^{n}$≥1,6 

=> n≥$log_{1,075}$⁡1,6 ≈ 6,5 (năm).  

Bài 6.24: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con…

Hướng dẫn giải:

Số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con sau số giờ là:

N(t)>80 000⇔500$e^{0,4t}$>80 000⇔e$e^{0,4t}$>160 

⇔0,4t>ln 160 t >12,69 (giờ).  

Bài 6.25: Giả sử nhiệt độ…

Hướng dẫn giải:

a) Nhiệt độ To ban đầu của vật tại t=0: T0=T(0)=25+70$e^{-0,5.0}$=95 độ C

b) Nhiệt độ của vật còn lại 30 độ C khi t thoả mãn phương trình

25+70$e^{-0,5t}$=30⇔$e^{-0,5t}$=114

⇔-0,5t=ln⁡$\frac{1}{4}$ => t=2ln⁡14 ≈ 5,278 phút.

Bài 6.26: Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8. 

Hướng dẫn giải:

Nồng độ ion hydrogen của dung dịch có độ pH là

pH=-log⁡$H^{+}$=8. Suy ra $H^{+}$=10-8 (mol/l).