Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 9: Các số đặc trưng đo các xu thế trung tâm

1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo...

Hướng dẫn giải:

a) Ta lập được bảng thống kê như sau:

b) Không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình mà chỉ có thể tính số gần đúng vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của mỗi học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

=> Số trung bình là: $\frac{5.0,75+15.2,25+8.3,75+2.5,25}{30}$ =2,6

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Bài 2: Tìm hiểu thời gian xem...

Hướng dẫn giải:

Ta có bảng sau:

Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là

$\bar{x}$ = $\frac{8.2,5+16.7,5+4.12,5+2.17,5+2.22,5}{8+16+4+2+2}$ =8,4375 (giờ).

2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của...

Hướng dẫn giải:

Ta có: cỡ mẫu n = 21 =>Trung vị $x_{11}$ của mẫu số liệu thuộc nhóm [5; 10).

Bài 2: Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng...

Hướng dẫn giải:

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi x1, x2, ..., x200 là tốc độ giao bóng của vận động viên và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là: $\frac{x_{100}+x_{101}}{2}$

Do 2 giá trị x100, x101 thuộc nhóm [165; 170) (Vì 18 + 28 + 35 + 43 = 124) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó:

p=4;a4=165; m4=43; m1+m2+m3=81; a5-a4=5

Ta có: $M_{e}$= 165+$\frac{\frac{200}{2}.81}{43}$.5≈167,21

3. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với mẫu số liệu ghép nhóm cho...

Hướng dẫn giải:

Cỡ mẫu là n = 21 

Ta có: Q1=$\frac{x_{5}+x_{6}}{2}$, mà $x_{5}$, $x_{6}$ thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất Q1 thuộc nhóm [5; 10).

Q3=$\frac{x_{16}+x_{17}}{2}$. Ta có: 3+8+7=18, do đó x16, x17 thuộc nhóm [10; 15) nên Q3 thuộc nhóm [10; 15).

Bài 2: Tìm tứ phân vị thứ nhất...

Hướng dẫn giải:

Có mẫu là n = 200.

Tứ phân vị thứ nhất Q1 là $\frac{x_{50}+x_{51}}{2}$. Do x50, x51 đều thuộc nhóm [160;165) nên nhóm này chứa Q1. 

Do đó, p=3, a3=160, m3=35;m1+m2=46, a4-a3=5. Ta có:

Q1=160+$\frac{\frac{200}{4}-46}{35}$.5≈160,57

Tứ phân vị thứ ba Q3 là $\frac{x_{150}+x_{151}}{2}$. Do x150, x151 đều thuộc nhóm [170;175) nên nhóm này chứa Q3. 

Do đó, p=5;a5=170;m5=41;m1+m2+m3+m4=124;a6-a5=5. Ta có:

Q3=170+$\frac{\frac{3200}{4}-124}{41}$.5≈173,17

4. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với số liệu cho trong Luyện tập...

Hướng dẫn giải:

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm [5; 10) là hợp lí nhất. 

Ta có j=2;aj=a2=5;m2=16;m1=8;m3=4; độ dài của nhóm h=5.

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: 

5+$\frac{16-8}{(16-8)+(16-4)}$.5=7

Bài 2: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu...

Hướng dẫn giải:

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là [10,5; 20,5).

Ta có, j=2;a2=10,5;m2=10;m1=2;m3=6;h=20,5-10,5=10. 

Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_{o}$=$\frac{10-2}{(10-2)+(10-6)}$.10≈17,17

Bài 3: Hãy tính các số đặc trưng....

Hướng dẫn giải:

Tổng số khách hàng là n = 35. Số trung bình là:

$\bar{x}$=$\frac{3.15+15.45+10.75+7.105}{35}$=63

Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

- Gọi x1, x2, x3,….,x35 là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. 

Khi đó, trung vị là x18. Do x18 thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p=2; a2=30; m2=15; m1=3; a3–a2=30 và ta có:

$M_{e}$=30+$\frac{\frac{35}{2}-3}{15}$.30=59

Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất Q1 là x9. Do x9 thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa Q1. Do đó, p=2; a2=30; m2=15; m1=3; a3–a2=30 và ta có:

$Q_{1}$=30+$\frac{\frac{35}{4}-3}{15}$.30=41,5

- Tứ phân vị thứ ba Q3 là x27. Do x27 thuộc nhóm [60; 90) nên nhóm này chứa Q3. Do đó, p=3; a3=60; m3=10; m1+m2=18; a4–a3=30 và ta có:

$Q_{3}$=60+$\frac{\frac{3.35}{4}-18}{10}$.30=84,75

- Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$=$M_{e}$=59

Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60). Ta có j=2, a2=30, m2=15, m1=3, m3=10, h=30. Do đó

$M_{o}$=30+$\frac{15-3}{(15-3)+(15-10)}$.30≈51,18

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 3.4: Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x_{g}}$=$\frac{5 .  2,5+11 . 7,5+11 . 12,5+9 . 17,5+1 . 22,5+1 . 27,5+2 . 32,5}{40}$

Ta có: 5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + 7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12 = 476. 

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là x = $\frac{476}{40}$=11,9

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn. 

c) Tần số lớn nhất là 11. Do đó, nhóm chứa mốt là các nhóm [5; 10) và [10; 15).

Bài tập 3.5: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau...

Hướng dẫn giải:

a) 14 là tần số lớn nhất nên mốt thuộc nhóm [3;3.5). Ta có:

j=3;a3=3;m3=14;m2=9;m4=11;h=0,5 

=> Mo=3+$\frac{14-9}{(14-9)+(14-11)}$.0,5=3,3125

Ý nghĩa: Tuổi thọ chủ yếu của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm.

b) Ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của 50 ắc quy ô tô này là:

$\bar{x}$=$\frac{4 . 2,25+9 . 2,75+14 . 3,25+11 . 3,75+7 . 4,25+5 . 4,75}{50}$=3,48 năm

Bài tập 3.6: Điểm thi môn Toán...

Hướng dẫn giải:

a) Ta được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

b) Cỡ mẫu là n = 60.

Gọi x1;x2;…..;x60 là điểm thi môn Toán của 60 thí sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{x_{30}+x_{31}}{2}$

Do hai giá trị X30, X31 thuộc nhóm [49,5; 59,5) nên nhóm này chứa trung vị. 

Do đó, p=6;a6=49,5;m6=12;m1+m2+m3+m4+m528; a7-a6=10 và ta có:

Me=49,5+$\frac{\frac{60}{2}-28}{12}$.10≈51,17

Tứ phân vị thứ nhất Q1  là: $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$

Do x15 và x16 đều thuộc nhóm [39,5 ; 49,5) nên nhóm này chứa Q1. Do đó, p=5;a6=39,5;m6=12;m1+m2+m3=13;a7-a6=10 và ta có :

Q1=39,5+ $\frac{\frac{60}{4}-13}{15}$.10≈40,83 

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 40,83

Tứ phân vị thứ ba Q3 là: $\frac{x_{45}+x_{46}}{2}$

Do x45 và x46 đều thuộc nhóm [59,5 ; 69,5) nên nhóm này chứa Q3. Do đó, p=7;a7=59,5;m7=10;m1+m2+m3+m4+m5+m6=40;a6-a5=10 và ta có :

Q3=59,5+ $\frac{\frac{3.60}{4}-40}{10}$.10=64,5 

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 64,5.

Tứ phân vị thứ hai Q2=Me≈51,17

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51,17

Bài tập 3.7: Phỏng vấn một số học sinh khối...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có bảng sau:

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nam là:

$x_{1}$=$\frac{6 . 4,5+10 . 5,5,+13 . 6,5+9 . 7,5+7 . 8,5}{6 + 10 + 13 + 9 + 7}$≈6,52

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ là:

$x_{1}$=$\frac{4 . 4,5+8 . 5,5+10 . 6,5+11 . 7,5+8 . 8,5}{4 + 8 + 10 + 11 + 8}$≈6,77

 Vì 6,52 < 6,77 nên thời gian ngủ trung bình của các học sinh nữ nhiều hơn các học sinh nam.

b) Ta có:

Cỡ mẫu là n = 45 + 41 = 86.

Gọi x1, x2, x3, ..., x86 là thời gian ngủ của các học sinh khối 11 được khảo sát và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là $\frac{x_{43}+x_{44}}{2}$

Do đó, tứ phân vị thứ ba Q1=x22. Vì x22 thuộc nhóm [5;6) nên nhóm này chứa Q1. 

Q1=5+$\frac{\frac{86}{4}-10}{18}$≈5,64 

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 5,64 giờ.