Ôn tập kiến thức Toán 11 KNTT bài 9: Các số đặc trưng đo các xu thế trung tâm

[toc:ul]

1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM 

a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:

b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

- Thời gian tự học dưới 1,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là 0,75 giờ, tần số tương ứng là 5.

- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là $\frac{1,5+3}{2}$=2,25a, tần số tương ứng là 15.

- Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là $\frac{3+4,5}{2}$=3,75 tần số tương ứng là 8.

- Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2.

=> Số trung bình là:

$\frac{5.0,75+15.2,25+8.3,75+2.5,25}{30}$=2,6

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Công thức

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}$.

$\bar{x}$=$\frac{m_{1}x_{1}+...+m_{k}x_{k}}{n}$

Trong đó n=m$_{1}$+…+m$_{k}$ là cỡ mẫu và 

x$_{i}$=$\frac{a_{i}+...+a_{i+1}}{2}$ (với i = 1,…,k) là giá trị đại diện của nhóm [$a_{i}$;$a_{i+1}$). 

Chú ý:

Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng k$_{1}$-k$_{2}$, trong đó k$_{1}$, k$_{2}$∈N. Nhóm k$_{1}$-k$_{2}$ được hiểu là nhóm gồm các giá trị k$_{1}$;k$_{1}$+1;…, k$_{2}$. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng hiệu chỉnh nhóm k$_{1}$-k$_{2}$ với k$_{1}$, k$_{2}$∈N thành nhóm [k$_{1}$-0,5;k$_{2}$+0,5). Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được bảng 3.4.

Ví dụ 1: (SGK – tr.63).

Hướng dẫn giải – (SGK – tr.63).

Luyện tập 1

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là n=8+16+4+2+2=32. Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là

$\bar{x}$=$\frac{8.2,5+16.7,5+4.12,5+2.17,5+2.22,5}{32}$=8,4375 (giờ).

Ý nghĩa

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Hoạt động 2:

Ta có: cỡ mẫu n = 21, là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu. Mà x$_{11}$ thuộc [5; 10) nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [5; 10).

Các bước tìm số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a$_{p}$;a$_{p+1}$).

Bước 2: Trung vị là: 

M$_{e}$=a$_{p}$+$\frac{\frac{n}{2}(m_{1}+...+m_{p-1})}{m_{p}}$.(a$_{p+1}$-a$_{p}$) 

Trong đó n là cỡ mẫu, m$_{p}$ là tần số nhóm p. Với p=1, ta quy ước m$_{1}$+…+m$_{p-1}$=0.

Ví dụ 2: (SGK – tr.64).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.64).

Luyện tập 2

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, ..., x$_{200}$ là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là: $\frac{x_{100}+x_{101}}{2}$. Do 2 giá trị x$_{100}$, x$_{101}$ thuộc nhóm [165; 170) (Vì 18 + 28 + 35 + 43 = 124) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó:

p=4;a$_{4}$=165; m$_{4}$=43; 

m$_{1}$+m$_{2}$+m$_{3}$=18+28+35=81; 

a$_{5}$-a$_{4}$=170-165=5 

Ta có: M$_{e}$=165+$\frac{\frac{200}{2}-81}{43}$.5≈167,21

Ý nghĩa

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

3. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Hoạt động 3

Vì n = 21 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó:

Q$_{1}$=$\frac{x_{5}+x_{6}}{2}$, mà x$_{5}$, x$_{6}$ thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ thuộc nhóm [5; 10).

 Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy x$_{12}$, x$_{13}$,…,x$_{21}$ nên Q$_{3}$=$\frac{x_{16}+x_{17}}{2}$. Ta có: 3+8+7=18, do đó x$_{16}$, x$_{17}$ thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ thuộc nhóm [10; 15).

Kết luận

- Để tính tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q$_{1}$, giả sử đó là nhóm thứ p: [a$_{p}$;a$_{p+1}$). Khi đó:

Q$_{1}$=a$_{p}$+$\frac{\frac{n}{4}(m_{1}+...+m_{p+1})}{m_{p}}$.(a$_{p+1}$-a$_{p}$) 

Trong đó n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước m$_{1}$+…+m$_{p-1}$=0.

Để tính tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q$_{3}$. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a$_{p}$;a$_{p+1}$). Khi đó:

Q$_{3}$=a$_{p}$+$\frac{\frac{3n}{4}(m_{1}+...+m_{p+1})}{m_{p}}$.(a$_{p+1}$-a$_{p}$) 

Trong đó n là cơ mẫu, m$_{p}$ là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m$_{1}$+..+m$_{p-1}$=0.

Tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$ chính là trung vị M$_{e}$.

Ví dụ 3: (SGK – tr.65).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.65).

Nhận xét

Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng ($\frac{r.n}{4}$) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Luyện tập 3

Cỡ mẫu là n = 200.

Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{x_{50}+x_{51}}{2}$. Do x$_{50}$, x$_{51}$ đều thuộc nhóm [160;165) nên nhóm này chứa Q$_{1}$. Do đó, p=3, a$_{3}$=160, m$_{3}$=35;m$_{1}$+m$_{2}$=18+28=46, a$_{4}$-a$_{3}$=165-160=5. Ta có:

Q$_{1}$=160+$\frac{\frac{200}{4}-46}{35}$.5≈160,57 

Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là $\frac{x_{150}+x_{151}}{2}$. Do x$_{150}$, x$_{151}$ đều thuộc nhóm [170;175) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó, p=5;a$_{5}$=170;m$_{5}$=41;m$_{1}$+m$_{2}$+m$_{3}$+m$_{4}$=18+28+35+43=124;a$_{6}$-a$_{5}$=175-170=5. Ta có:

Q$_{3}$=170+$\frac{\frac{3.200}{4}-124}{41}$.5≈173,17 

Ý nghĩa

Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

4. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Hoạt động 4

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm [5; 10) là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là j=2;a$_{j}$=a$_{2}$=5;m$_{2}$=16;m$_{1}$=8;m$_{3}$=4; độ dài của nhóm h=5.

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: 

5+$\frac{16.8}{(16-8)+(16-4)}$.5=7

Các bước thực hiện tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

- Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [a$_{j}$;a$_{j+1}$).

- Bước 2. Mốt được xác định là: 

M$_{o}$=a$_{j}$+$\frac{m_{j}-m_{j-1}}{(m_{j}-m_{j-1})+(m_{j}-m_{j+1})}$.h

Trong đó mj là tần số của nhóm j (quy ước m$_{o}$=m$_{k+1}$=0) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý

Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

- Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghé nhóm không có mốt.

Ví dụ 4: (SGK – tr.66)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.66)

Luyện tập 4

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm [10,5; 20,5).

Ta có, j=2;a$_{2}$=10,5;m$_{2}$=10;m$_{1}$=2;m$_{3}$=6;h=20,5-10,5=10. Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

M$_{o}$=10,5+$\frac{10-2}{(10-2)+(10-6)}$.10 

      =$\frac{103}{6}$≈17,17 

Ý nghĩa

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Vận dụng

Ta có:

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

+) Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số khách hàng là n = 35. Số trung bình là:

$\bar{x}$=$\frac{3.15+15.45+10.75+7.105}{35}$=63

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

- Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, x$_{3}$,….,x$_{35}$ là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là x$_{18}$. Do x$_{18}$ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p=2; a$_{2}$=30; m$_{2}$=15; m$_{1}$=3; a$_{3}$–a$_{2}$=60 –30=30 và ta có:

M$_{e}$=30+$\frac{\frac{35}{2}-3}{15}$.30=59

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu gốc thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị. Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là x$_{9}$. Do x$_{9}$ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa Q$_{1}$. Do đó, p=2; a$_{2}$=30; m$_{2}$=15; m$_{1}$=3;

a$_{3}$–a$_{2}$=60 –30=30 và ta có:

Q$_{1}$=30+$\frac{\frac{35}{4}-3}{15}$.30=41,5

- Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là x$_{27}$. Do x$_{27}$ thuộc nhóm [60; 90) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó, p=3; a$_{3}$=60; m$_{3}$=10; m$_{1}$+m$_{2}$=3+15=18; a$_{4}$–a$_{3}$=90 –60=30 và ta có:

Q$_{3}$=60+$\frac{\frac{3.35}{4}-18}{10}$.30=84,75

- Tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$=M$_{e}$=59

Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60). Ta có j=2, a$_{2}$=30, m$_{2}$=15, m$_{1}$=3, m$_{3}$=10, h=30. Do đó

M$_{o}$=30+$\frac{15-3}{(15-3)+(15-10)}$.30≈51,18

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.