Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 16: Giới hạn của hàm số

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm...

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định là D=R\ 2.

b) f($x_{n}$)=$\frac{4-(\frac{2n+1}{n})^{2}}{\frac{2n+1}{n}-2}$=-4-$\frac{1}{n}$

f($x_{n}$)=(-4-$\frac{1}{n}$)=-4

c)f($x_{n}$)=$\frac{4-x_{n}^{2}}{x_{n}-2}$=-2-$x_{n}$

Vì $x_{n}$≠2 và $x_{n}$→2 ∀n nên $x_{n}$=2 

=> f(x) =(2-$x_{n}$) =-4.

Bài 2: Tính...

Hướng dẫn giải:

$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$=$\sqrt{x}$+1=2

Bài 3: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên...

Hướng dẫn giải:

a) $x_{n}$=$\frac{n}{n+1}$<1 ∀n => $x_{n}$-1<0 ∀n.

Do đó, $y_{n}$=$\frac{\left |x_{n}-1  \right |}{x_{n}-1}$=-$\frac{x_{n}-1}{x_{n}-1}$=-1

$x'_{n}$=n+1n>1 ∀n => $x'_{n}$-1>0 ∀n.

Do đó, $y'_{n}$=f($y'_{n}$)=$\frac{\left |x'_{n}-1  \right |}{x'_{n}-1}$

b) $y_{n}$=(-1) =-1

$y'_{n}$=1 =1

c) f(x)=$\frac{\left | x-1 \right |}{x-1}$=$\frac{x-1}{x-1}$ nếu x-1>0

$\frac{\left | x-1 \right |}{x-1}$=-$\frac{x-1}{x-1}$ nếu x-1<0 

Suy ra: 1 nếu x-1>0    -1 nếu x-1<0

Vì $x_{n}$<1<$x'_{n'}$, => $x_{n}$-1<0 và $x_{n'}$-1>0 ∀n.

Vậy f($x_{n}$) =-1 và f($x'_{n}$) =1.

Bài 4: Cho hàm số...

Hướng dẫn giải:

Với dãy số ($x_{n}$) bất kì sao cho $x_{n}$<0 và $x_{n}$→0, ta có f($x_{n}$)=-$x_{n}$

Do đó f(x) =0 

Với dãy số ($x_{n}$) bất kì sao cho $x_{n}$>0 và $x_{n}$→0, ta có f($x_{n}$)=$\sqrt{x_{n}}$

Do đó f(x) =0 

Do f(x) =f(x) =0 => f(x) =0

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực...

Hướng dẫn giải:

f($x_{n}$)=1+$\frac{2}{x_{n}-1}$

f($x_{n}$)=(1+$\frac{2}{x_{n}-1}$) =1

Bài 2: Tính...

Hướng dẫn giải:

$\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}$

=$\frac{\sqrt{x^{2}(1-\frac{2}{x^{2}})}}{x(1+\frac{1}{x})}$

=$\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}$=1

Bài 3: Cho tam giác vuông...

Hướng dẫn giải:

a) Xét ∆OAB vuông tại O có:

AB=$\sqrt{1+a^{2}}$ (định lý Pythagore)

Ta có: OH . AB=OA . OB⟺h.$\sqrt{1+a^{2}}$=a => h=$\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}$

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA=a=0 => h=0, do đó điểm H dịch chuyển về gần A hơn và h sẽ về điểm O.

c)$\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}(1+\frac{1}{a^{2}})}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{a^{2}}}}$=1

Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox điểm H dịch chuyển về B và dần về 1

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực...

Hướng dẫn giải:

Ta có: R∖{0} 

f($x_{n}$)=$\frac{1}{x^{2}}$=$\frac{1}{(\frac{1}{x})^{2}}$=$n^{2}$

Vì n→+∞ nên $x_{n}$=$\frac{1}{n}$→0 và f($x_{n}$)→+∞

Bài 2: Cho hàm số...

Hướng dẫn giải:

f($x_{n}$)=$\frac{1}{x_{n}-1}$=$\frac{1}{(1+\frac{1}{n})-1}$=+∞

f($x_{n}$)'=$\frac{1}{x'_{n}-1}$=$\frac{1}{(1+\frac{1}{n})-1}$=-∞

Bài 3: Tính các giới hạn...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\left | x_{n} \right |$→0 và $\left | x_{n} \right |$>0. Do vậy $\frac{2}{\left | x_{n} \right |}$ =+∞

=> $\frac{2}{\left | x_{n} \right |}$ =+∞

b) Ta có $\sqrt{2-x_{n}}$→$0^{+}$

=> $\frac{1}{\sqrt{2-x}}$=+∞

Bài 4: Tính...

Hướng dẫn giải:

+) (x-2) =0, x-2>0 ∀x>2 và 2x-1 =3>0.

=> $\frac{2x-1}{x-2}$=+∞.

+) (x-2) =0, x-2<0 ∀x<2 và 2x-1 =3>0

=> $\frac{2x-2}{x-2}$=-∞.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.7: Cho hai hàm số...

Hướng dẫn giải:

a) Sai

Biểu thức f(x) có nghĩa khi x-1≠0⟺x=1

f(x)=$\frac{x^{2}-1}{x-1}$=x+1, ∀x≠1 

Biểu thức gx=x+1 có nghĩa x.

Hàm số f(x) và g(x) khác nhau có điều kiện xác định khác nhau.

b) Đúng

f(x) =$\frac{x^{2}-1}{x-1}$=(x+1) =2 ;

gx =(x+1) =2 

=> f(x) =g(x) = 2

Bài tập 5.8: Tính các giới hạn sau...

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{(x+2)^{2}-4}{x}$=$\frac{x^{2}+4x}{x}$=(x+4) =4

b) $\frac{\sqrt{x^{2}-9}-3}{x^{2}}\$=$\frac{1}{6}$

Bài tập 5.9: Cho hàm số...

Hướng dẫn giải:

H(t) =H($t_{n}$) =0 =0 

H(t) =H($t_{n}$) =1 =1 

Bài tập 5.10: Tính các giới hạn một bên...

Hướng dẫn giải:

a) (x-2) =-1 ; (x-1) =0 với x>1.

=> $\frac{x-2}{x-1}$ =-∞

b) ($x^{2}$-x+1) =13 ; (4-x) =0 với x<4.

=> $\frac{x^{2}-x+1}{4-x}$=+∞

Bài tập 5.11: Cho hàm số...

Hướng dẫn giải:

g(x) =$\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}$=(3-x) =1

g(x) =$\frac{x^{2}-5x+6}{2-x}$=(3-x) =1

Bài tập 5.12: Tính các giới hạn sau...

Hướng dẫn giải:

a)$\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$=$\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}$=-2

b) ($\sqrt{x^{2}+x+2}$-x)=$\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}$=$\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}+1}$ = $\frac{1}{2}$

Bài tập 5.13: Cho hàm...

Hướng dẫn giải:

f(x)=$\frac{2}{(x-1)(x-2)}$=$\frac{2}{(x-1)}$.$\frac{2}{(x-2)}$

+)$\frac{2}{(x-1)}$=$\frac{2}{(2-1)}$=2>0 và $\frac{1}{(x-2)}$=+∞ (do x-2>0 khi x>2)

=> f(x) =$\frac{2}{(x-1)(x-2)}$=+∞

+) $\frac{2}{(x-1)}$=$\frac{2}{(2-1)}$=2>0 và $\frac{1}{(x-2)}$=-∞  (do x-2<0 khi x<2)

=> f(x) =$\frac{2}{(x-1)(x-2)}$ =-∞