Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 15: Giới hạn của dãy số

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

- GV cho HS quan sát HĐ1 và suy nghĩ trả lời.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số và biểu diễn trên trục số.

+ GV đặt câu hỏi: Khoảng cách từ một số a bất kì đến số  được gọi là gì của ?

(Giá trị tuyệt đối của số )

+ Lấy  từ đó ta tính được n.

- GV có thể ví dụ thêm cho HS trả lời:

Nếu cho  thì giá trị của  sẽ bằng bao nhiêu? Nếu biểu diễn trên trục số thì giá trị đó như thế nào với số 0?

(gần tiến tới 0).

 Từ đó GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức trọng tâm cho HS quan sát và ghi bài.

- GV cho HS đọc – hiểu phần Ví dụ 1 và yêu cầu HS trình bày lại cách thực hiện.

- GV lưu ý cho HS về kết quả của những giới hạn từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 theo SGK.

- GV triển khai Luyện tập 1 và cho HS thảo luận với bạn cùng bàn để suy nghĩ cách làm và trình bày kết quả.

+ GV gợi ý:

Xét

Ta có  khi

Nhiệm vụ 2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

- GV triển khai HĐ2 và cho HS thực hiện tính toán.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện biến đổi, tính toán  từ

+ Từ đó tính lim của  với

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thực trọng tâm cho HS.

- HS thực hiện Ví dụ 2 và trình bày vào vở từ đó HS khái quát lại: khi nào thì ?

- GV chính xác hóa đáp án bằng cách nêu phần Chú ý cho HS.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 2.

+ GV yêu cầu 1 bạn bên bảng trình bày bài giải.

+ Các HS khác làm bài vào vở. GV đi kiểm tra một số HS làm bài và hỗ trợ nếu cần.

- GV triển khai Vận dụng 1 cho HS thảo luận nhóm 4 người theo phương pháp khăn trải bàn để thực hiện bài tập này.

+ GV gợi ý: Theo giải thiết, với  ta có ,……

Từ đó,  khi

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Dãy số có giới hạn là 0 và dãy số có giới hạn là số thực a.

1. Giới hạn của dãy số.

HĐ1. Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

a) Năm số hạng đầu của dãy số  đã cho là .

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ  đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Khái niệm

Ta nói dãy số  có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu  có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 1: (SGK – tr.105).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.105).

Chú ý

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau:

+ với k là một số nguyên dương.

+  nếu

+ Nếu  với mọi  và  thì  .

Luyện tập 1

Xét dãy số  có

Ta có:

 ;

Do đó, .

HĐ2. Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

Do đó

Định nghĩa

Ta nói dãy số  có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 2: (SGK – tr.106).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Chú ý

-  khi và chỉ khi

- Nếu  (c là hằng số) thì

Luyện tập 2

Ta có:

 khi  

Do vậy .

Vận dụng

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao  xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: 

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,  

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ3 và cho HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện phần HĐ này.

+ GV mời 1 HS tính  sau đó tính giới hạn của tổng .

+ GV chỉ định cho 1 HS tính giới của  và  sau đó tính tổng hai giới hạn đó.

- Từ HĐ trên GV mô tả trường hợp tổng quát và giới thiệu các quy tắc tính giới hạn theo khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- GV gợi ý cho HS làm Ví dụ 3:

Cách tính giới hạn của một dãy số có dạng phân thức hữu tỉ: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

- GV cho HS suy nghĩ Luyện tập 3, áp dụng cách tính giới hạn của một dãy số có dạng phân thức hữu tỉ và thực hiện bài toán.

+ GV mời 1 HS lên bảng làm bài.

+ Các HS khác làm bài vào vở và đối chiếu với đáp án của bạn trên bảng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Quy tắc tính giới hạn.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐ3.

+) Ta có:

Lại có:

 khi

Do vậy,

+) Ta có:  khi

 Do vậy ,

Và  khi

Do vậy,

Khi đó,

Vậy

Quy tắc tính giới hạn

a) Nếu  và  thì

+

+

+

+  (nếu )

b)  Nếu  với mọi n và  thì

 và

Ví dụ 3: (SGK – tr.106)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Luyện tập 3

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai phần HĐ4 cho HS tìm hiểu, làm quen với việc tính tổng vô hạn.

 GV gợi ý:

+ Vì hình vuông có cạnh 1 được chia thành 4 hình vuông bằng nhau nên , cứ tiếp tục thực hiện thì  Nếu cứ tiếp tục tính thì  bằng bao nhiêu?

+ Từ đó ta biết được số hạng đầu  và công bội q.

+ GV chỉ định 1 HS nhắc lại công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. Từ đó áp dụng tính tổng .

+ GV thực hiện tính toán lên bảng và giảng cách thực hiện phần b cho HS.

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu phần nội dung trọng tâm trong SGK cho HS ghi nhớ và ghi bài về tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

- GV cho HS thực hiện làm Ví dụ 4 theo SGK và yêu cầu HS nêu số hạng đầu  và công bội  của dãy S.

- HS thực hiện Ví dụ 5. GV hướng dẫn HS cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn theo hướng dẫn của SGK.

- GV triển khai cho HS thực hiện Luyện tập 4. GV mời 1 HS đứng tại chỗ tìm số hạng đầu  và công bội .

+ HS tự thực hiện bài vào vở và nêu đáp án cho GV.

- GV cho HS thảo luận nhóm 5 HS để thực hiện Vận dụng 2

 GV gợi ý:

Phần a, để chạy hết quãng đường từ  đến  thì Achilles mất bao nhiêu thời gian ? Trong khoảng thời gian  đó thì rùa đã đi được quãng đường  dài bao nhiêu ? Cứ như vậy để chạy hết quãng đường  đến  Achilles phải mất bao nhiêu thời gian?

Phần b, Tổng thời gian mà Achilles chạy hết quãng đường

 có phải tổng của cấp số nhân lùi vô hạn không? Tìm số hạng đầu và công bội?

Phần c, GV yêu cầu một số HS nêu ý kiến về sự sai lầm của Zeno.

+ HS thảo luận làm bài và GV chỉ định một số HS lên bảng trình bày.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức:

+ Khái niệm của cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

HĐ4

a) Ta có:  là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó  .

Cứ tiếp tục như vậy, ta được: ,….

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

b) Ta có:

Kết luận

- Cấp số nhân vô hạn  có công bội  với  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

- Cho cấp số nhân lùi vô hạn  với công bội . Khi đó

Vì  nên  khi . Nên:

 - Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , và kí hiệu là:

Như vậy

Ví dụ 4: (SGK – tr.107)

Hướng dẫn giải (SGK -tr.107)

Ví dụ 5: (SGK – tr.108)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.108)

Luyện tập 4

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với  và .

Do đó,

Vận dụng 2

Ta có: Achilles chạy với vận tốc , vận tốc của rùa là .

a)

+ Để chạy hết quãng đường từ  đến  với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian  này, rùa đã chạy được quãng đường .

+ Để chạy quãng đường  đến  với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian  này, rùa đã chạy được quãng đường

+ Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ  đến  với , Achilles phải mất thời gian .

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường  tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

(h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có  và .

Ta có:  (giờ)

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.