Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 5: Dãy số

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết dãy số vô hạn

- GV cho HS làm phần HĐ1 để nhận biết dãy số vô hạn.

+ GV yêu cầu 1 HS nhắc lại thế nào là số chính phương? và từ đó để hoàn thành HĐ1.

+ GV mời 1 HS thực hiện lần lượt các yêu cầu và GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức.

- GV nêu phần Chú ý cho HS.

- GV cho HS đọc và quan sát Ví dụ 1 và giải thích chi tiết cho HS hiểu được Ví dụ 1.

Nhiệm vụ 2: Nhận biết dãy số hữu hạn

- GV cho 1 HS lên bảng làm phần HĐ2a, và 1 HS đứng tại chỗ trả lời phần b.

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức.

- GV đọc – hiểu Ví dụ 2 trong SGK.

- GV hướng dẫn HS làm phần Luyện tập 1.

+ GV: Ta thấy, nếu a chia cho 5 mà dư 1 thì khi đó sẽ tồn tại một số tự nhiên q khác 0 để .

+ HS có thể tự làm phần b.

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ GV chốt đáp án cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Định nghĩa của dãy số (hữu hạn và vô hạn).

1. Dãy số vô hạn

HĐ1.

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: .

Số chính phương thứ nhất là

Số chính phương thứ hai là

Số chính phương thứ ba là

Số chính phương thứ tư là

Số chính phương thứ năm là

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là  với

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là .

+ Ta thường viết  thay cho u(n) và ký hiệu dãy số  bởi , do đó dãy số  được viết dưới dạng khai triển ... Số  gọi là số hạng đầu,  là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý

Nếu  thì  được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

2. Dãy số hữu hạn

HĐ2.

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

.

b) Ta có:  với  và n ≤ 8.

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập  với  được gọi là một dãy số hữu hạn.

+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là . Số  gọi là số hạng đầu, số  gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

Luyện tập 1.

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để .

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là:

Số hạng đầu của dãy là , số hạng cuối của dãy là .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS tự suy nghĩ và thực hiện lần lượt các yêu cầu HĐ3 để HS nhận biết được cách cho một dãy số.

+ GV mời 2 HS trả lời câu hỏi.

+ GV nhận xét câu trả lời của HS và chốt đáp án.

- GV cần lưu ý cho HS rằng ở đây cùng là một dãy số nhưng có thể cho bằng những cách khác nhau và dẫn đến khung kiến thức trọng tâm.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 3 theo bàn. HS thực hiện và đối chiếu đáp án với bạn cùng bàn.

- GV cho HS đọc phần Ví dụ 4 và đưa ra câu hỏi cho HS: Thế nào là số nguyên tố?.

- GV mời 1 HS đọc phần Chú ý cho cả lớp cùng nghe – hiểu.

- GV giới thiệu cho HS biết thế nào là hệ thức truy hồi và làm Ví dụ 5.

- GV hướng dẫn cho HS làm Ví dụ 6 để giải quyết được bài toán mở đầu.

+ GV: ta tính được n = 2030 – 2020 = 10. Thay 10 vào công thức ta tìm được số dân năm 2030.

- GV cho HS thảo luận nhóm 2 người về Luyện tập 2.

+ GV mời 2 HS lên bảng làm bài, các HS khác làm bài vào vở và đối chiếu đáp án.

+ GV nhận xét và chốt đáp án cho HS.

- GV nêu phần Chú ý cho HS hiểu được cách biểu diễn các số hạng trên trục số.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Cách cho một dãy số và các chú ý của nó.

HĐ3:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là

b) Số hạng đầu của dãy số là .

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ

Kết luận:

Một dãy số có thể cho bằng:

+ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+ Công thức của số hạng tổng quát.

+ Phương pháp mô tả.

+ Phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.44)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 4: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

Chú ý:

Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo vào số nguyên tố đứng trước nó.

- Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ 5: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 6: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của dãy số  với số hạng tổng quát là

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci  là

Chú ý

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số  với . Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là:

 và được biểu diễn trên trục số như trên.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

- GV yêu cầu HS tự thực hiện HĐ4 và nêu đáp án cho GV để nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm. Từ đó GV ghi bảng hoặc trình chiếu phần kết luận trong khung kiến thức trọng tâm.

- GV hướng dẫn cho HS làm Ví dụ 7, để xét tính tăng giảm của dãy số .

+ GV: Các em cần tính được  nếu hiệu này nhỏ hơn 0 thì là dãy số giảm, còn nếu hiệu lớn hơn 0 thì là dãy số tăng.

- GV cho HS tự thực hiện luyện tập 3 và sau đó GV mời 1 HS lên bảng là bài, và mời HS khác nhận xét bài làm của bạn.

+ GV chốt đáp án cho HS.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi và thực hiện HĐ5 để nhận biết dãy số bị chặn. GV quan sát HS làm bài và hỗ trợ HS khi cần.

+ GV mời 2 HS nêu cách làm và đáp án.

+ GV nhận xét và chốt đáp án cho HS.

 Từ đó dẫn ra phần kiến thức trong khung kiến thức trọng tâm.

- GV cho HS tự đọc - hiểu Ví dụ 8 sau đó mời 1 HS trình bày lại cách thực hiện cho cả lớp nghe. GV cung cấp một Câu hỏi phụ tương tự để cho HS vận dụng kiến thức để làm.

Cho dãy số  biết . Xét tính bị chặn dãy số .

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng làm bài, các HS khác làm bài vào vở.

+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số HS làm bài.

+ GV nhận xét bài làm trên bảng và chốt đáp án.

- GV mời 1 HS nhận xét nhanh tính bị chặn của bài Luyện tập 4 và mời chính HS đó lên bảng làm bài để chứng minh câu trả lời của mình.

+ GV mời 1 HS khác nhận xét và GV chốt đáp án cho HS.

- GV cho HS làm Vận dụng theo tổ trong lớp. Thu đua xem tổ nào làm nhanh và chính xác nhất.

+ Tổ nhanh nhất dơ tay phát biểu cách làm và đáp án cho các tổ còn lại lắng nghe và nhận xét bài làm.

+ GV ghi nhận kết quả và chốt đáp án cuối cùng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức:

+ Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn.

1. Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

HĐ4.

a) Ta có:

Xét hiệu  ta có: , tức là .

Vậy

b) Ta có: .

Xét hiệu  ta có:

 ℕ^*

Tức là

Vậy .

Kết luận:

+ Dãy số  được gọi là dãy số tăng nếu ta có:  với mọi  ℕ^*.

+ Dãy số  được gọi là dãy số giảm nếu ta có  với mọi  ℕ^*.

Ví dụ 7: (SGK – tr.45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).

Luyện tập 3

Ta có:

Tức là

Vậy  là dãy số giảm.

2. Nhận biết dãy số bị chặn

HĐ5.

a) Ta có:

b) Ta có:  

suy ra  

Do đó, .

Kết luận

+ Dãy số  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho  với .

+ Dãy số  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

+ Dãy số  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho , .

Ví dụ 8: (SGK – tr45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46). 

Câu hỏi phụ

Ta có:

Suy ra

Vậy dãy số  bị chặn.

Luyện tập 4

Ta có: u_n = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

 = 2n – 1 ≤ M với mọi n ^*.

Vậy dãy số  bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng

a) Ta có:

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b)

Ta có:

 với mọi

Tức là

Vậy  là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.