Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 17: Hàm số liên tục

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ1 và HS thảo luận, thực hiện HĐ theo nhóm đôi.

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu khái niệm trong khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- GV cho HS tự thực hiện đọc – hiểu Ví dụ 1. Sau đó mời 1 HS đứng tại chỗ trình bày lại cách thực hiện.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 2.

+ Ta thấy:

và

Vì giới hạn bên phải và bên trái không bằng nhau tại 0 nên không tồn tại giới hạn .

=> Hàm số  này gián đoạn tại 0.

- GV đặt câu hỏi cho HS: Qua Ví dụ 2, ta có thể rút ra điều gì khi một hàm số  có giới hạn bên trái và giới hạn bên phải khác nhau?

- GV cho HS áp dụng phần chú ý để thực hiện Luyện tập 1.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Khái niệm hàm số liên tục và gián đoạn tại một điểm.

1. Hàm số liên tục tại một điểm.

HĐ1

Ta có

Vậy .

Khái niệm

Cho hàm số  xác định trên khoảng  chứa điểm . Hàm số  được gọi là liên tục tại điểm  nếu .

+) Hàm số  không liên tục tị  được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ 1: (SGK – tr.119).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.119).

Ví dụ 2: (SGK – tr.120).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.120).

Chú ý

Hàm số  liên tục tại  khi và chỉ khi:

Luyện tập 1

Ta có:

Do đó hàm số  liên tục tại .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ2 và đặt câu hỏi hướng dẫn cho HS thực hiện yêu cầu.

+  có thuộc tập xác định của hàm số  hay không?

+ Tìm giới hạn của  khi và giới hạn của  khi ; Sau đó so sánh hai giới hạn?

+ Làm tương tự với hàm số

Từ đó nêu nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị của hàm số  và ?

- GV giới thiệu cho HS khái niệm hàm số liên tục trên các khoảng theo khung kiến thức trọng tâm trong SGK.

- HS tự thực hiện Ví dụ 3 với bạn cùng bàn. GV yêu cầu một số HS đứng tại chỗ trình bày lại cách làm.

+ GV lưu ý HS xét tính liên tục của hàm số trên nửa khoảng , phải kiểm tra điều kiện . Tương tự cho trường hợp trên nửa khoảng .

- GV cho HS quan sát đồ thị của một số hàm sơ cấp đã biết như: Hàm đa thức; lượng giác; phân thức;… từ đó giảng cho HS về tính liên tục của các hàm số sơ cấp theo SGK.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 4.

+ Do tập xác định của hàm số  là  vậy nên hàm số  liên tục trên tập xác định của chúng?

- GV cho HS tự thực hiện Luyện tập 2.

+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời.

+ Cả lớp nhận xét và GV chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng; liên tục trên một đoạn;

+ Tính liên tục của hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số vô tỉ, hàm phân thức.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng.

HĐ2

+) Hàm số

Hàm số  xác định trên , do đó  thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có:

Suy ra , do đó

Mà  nên

Vậy hàm số  liên tục tại

+) Hàm số

Hàm số  xác định trên , do đó  thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có:

=>

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số  tại , do đó hàm số  gián đoạn tại

+) Quan sát hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số  là đường liền trên , còn đồ thị của hàm số  trên  là các đoạn rời nhau.

Khái niệm

- Hàm số  được gọi là liên tục trên khoảng  nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số  được gọi là liên tục trên đoạn  nếu nó liên tục trên khoảng  và .

- Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như  được định nghĩa theo cách tương tự.

Ví dụ 3: (SGK – tr.121)

Hướng dẫn giải (SGk – tr.121)

Tính liên tục của một số hàm sơ cấp đã biết

+ Hàm số đa thức và các hàm số ;  liên tục trên .

+ Các hàm số  và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ 4: (SGK – tr.121)

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.121).

Luyện tập 2

Ta thấy hàm số  là một hàm phân thức hữu tỉ. Vậy hàm số này liên tục trên các khoảng tập xác định của chúng:  và .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ3 cho HS thảo luận và đưa ra đáp án.

a) Nhận thấy hàm số  và  là hàm đa thức vậy hàm số có liên tục tại điểm  không?

b) Tính  để so sánh với .

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung về tính chất cơ bản của hai hàm số liên tục.

+ GV lưu ý rằng: Các tính chất này có được nhờ áp dụng quy tắc giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số.

- GV cho HS nêu lại tính liên tục của hàm đa thức và hàm lượng giác?

- HS áp dụng tính liên tục của hàm đa thức và hàm lượng giác để thực hiện Ví dụ 5 và trình bày lại cách thực hiện.

- GV thực hiện trình bày phần Nhận xét cho HS về tính chất liên tục của hàm số tại một đoạn.

+ GV minh họa bằng đồ thị cho HS nắm được kiến thức một cách trực quan hơn,

- GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi để hoàn thành Ví dụ 6.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày kết quả.

- GV cho HS thảo luận nhóm 3 người để thực hiện yêu cầu Vận dụng giải bài toán mở đầu.

+ GV hướng dẫn: Áp dụng tính chất của hàm số liên tục cho hàm số , ở đó  là hàm biểu thị vận tốc tại điểm t.

Từ giả thiết, .

Tại điểm , có  

=> Có một thời điểm  xe chạy với vận tốc .

=> Hàm số  liên tục trên đoạn nào?

+ Ta có:  ,

=>  để

=> Ta tính được ?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức:

+ Tính chất về tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

1. Một số tính chất cơ bản

HĐ3

a) Hàm số  và  là các hàm đa thức nên nó liên tục trên . Do đó, hai hàm số  và  đều liên tục tại .

b) Ta có:

Do đó:

Lại có, , do đó

Vậy .

Tính chất

- Giả sử hai hàm số  và  liên tục tại điểm . Khi đó:

a) Các hàm số  và  liên tục tại ;

b) Hàm số  liên tục tại  nếu .

Ví dụ 5: (SGK – tr.121).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.121).

Nhận xét

Nếu hàm số  liên tục trên đoạn  và  thì tồn tại ít nhất một điểm  sao cho

Minh họa:

Ví dụ 6: (SGK – tr.122)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.122).

Vận dụng

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là

Gọi  là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Tại thời điểm xuất phát , vận tốc của xe  nên có một thời điểm  xe chạy với vận tốc

Xét hàm số , rõ ràng  là hàm số liên tục trên đoạn

Ta có:  (do .

=>  để

=> .