Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 1.

+ GV đặt vấn đề: vận tốc trung bình chỉ cho chúng ta biết vận tốc trong một khoảng thời gian nhất định từ  đến Làm thế nào để xác định được sự nhanh chậm của vật tại thời điểm

+ GV giới thiệu khái niệm vận tốc tức thời.

Vận tốc tức thời là đại lượng đặc trưng cho chuyển động về sự nhanh, chậm của một vật chuyển động tại thời điểm

+ Nhận thấy  thể hiện được mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm

+ Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm  là: .

- Tương tự HS thực hiện HĐ 2.

+ GV giới thiệu về cường độ tức thời.

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm  là:

- GV chốt lại trong nhiều bài toán, chúng ta cần đi tìm giới hạn của

Giới hạn trên là khái niệm quan trọng trong toán, khái niệm đạo hàm.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

HĐ 1:

a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ đến  là

b) Khi càng gần , tức là  càng nhỏ, thì tỉ số  càng thể hiện chính xác mức độ nhanh chậm tại thời điểm t₀.

Giới hạn  cho ta biết vận tốc tức thời của vật tại thời điểm

b) Cường độ tức thời

HĐ 2:

a) Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ  đến  là .

b) Khi  càng gần , tức là   càng nhỏ thì cường độ trung bình càng thể hiện được chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm

Giới hạn  cho ta biết cường độ tức thời của vật tại thời điểm

Nhận xét:

Nhiều bài toán đưa đến việc tìm giới hạn dạng

( là một hàm số đã cho).

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV giới thiệu về khái niệm đạo hàm hàm số tại điểm

 + Làm rõ các bước tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa.

- HS đọc Ví dụ 1. GV lưu ý HS thực hiện lần lượt các bước.

- GV chú ý về cách viết khác.

Nếu đặt  thì khi thì tiến tới đâu?

Viết lại giới hạn để tính đạo hàm.

+ GV chú ý cách tính và viết khác này được sử dụng nhiều về sau.

- HS thực hiện Luyện tập 1.

GV có thể gọi lên bảng 2 bạn trình bày theo 2 cách viết khác nhau.

- HS thực hiên HĐ 3: tính đạo hàm bằng định nghĩa tại một điểm .

+ Chú ý cách tính như đã học, chỉ khác là kết quả sẽ phụ thuộc vào điểm  và khi  thay đổi ta sẽ được một hàm số, hàm số đó gọi là đạo hàm của hàm số  đã cho.

- GV giới thiệu khái niệm đạo hàm  của hàm số  trên khoảng

- HS thực hiện Ví dụ 2, dưới sự hướng dẫn của GV.

+ Tính đạo hàm của một hàm số đơn giản bằng định nghĩa.

+ GV chú ý một số quy tắc tính đạo hàm cơ bản được rút ra.

- GV cho HS nhắc lại thế nào là vận tốc tức thời và cách tính. Từ đó dẫn dắt:  là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

- HS đọc, trình bày cách làm Ví dụ 3. GV làm rõ các bước giải:

+ Bước 1: Mô hình hóa bài toán.

Viết phương trình chuyển động.

+ Bước 2: Sử dụng đạo hàm

Tính đạo hàm của phương trình chuyển động để có biểu thức tính vận tốc.

+ Bước 3: Tính dựa trên công thức

Vật chậm đất khi quãng đường vật đi được bằng chiều cao của tòa nhà. Từ đó tính thời gian và vận tốc của vật khi chạm đất.

- HS hoạt động cá nhân làm Luyện tập 2.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số  xác định trên khoàng  và điểm Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số  tại điểm , kí hiệu bởi  (hoặc , tức là

Chú ý:

- Các bước: tính đạo hàm của hàm số  tại điểm

1. Tính .

2. Lập và rút gọn tỉ số  với .

3. Tìm giới hạn .

Ví dụ 1 (SGK -tr.82)

Chú ý:

Đặt , khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm là:

Luyện tập 1:

Vậy

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

HĐ 3:

.

Kết luận:
Hàm số  được gọi là có đạo hàm trên khoảng  nếu nó có đạo hàm  tại mọi điểm  thuộc khoảng đó, kí hiệu là .

Ví dụ 2 (SGK -tr.83)

Chú ý

.

Chú ý:

Nếu phương trình chuyển động của vật là  thì  là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm

Ví dụ 3 (SGK -tr.84)

Luyện tập 2

a) Với  bất kì, ta có:

Vậy hàm số  có đạo hàm là hàm số

b) Với  bất kì, ta có:

Vậy hàm số (với là các hằng số) có đạo hàm là hàm số

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 4. GV hướng dẫn và gợi ý:

+) Nhắc lại:

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm  và , với  là

.

- GV giới thiệu về khái niệm tiếp tuyến của đồ thị, có thể hiểu là “Vị trí giới hạn” của cát tuyến.

+ Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm  là đạo hàm .

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

HĐ 4: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) Hệ số góc của cát tuyến PQ là
b) Khi  thì vị trí của điểm  trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm  và khi  hai điểm này sẽ trùng nhau.
c) Nếu điểm  di chuyển trên  tới điểm  mà  có giới hạn hữu hạn  thì cát tuyến  cũng sẽ tiến đến gần vị trí đường thẳng

Kết luận

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm  là đường thẳng đi qua P với hệ số góc  nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là . Điểm P gọi là tiếp điểm.

Nhận xét:

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm  là đạo hàm .