Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số tiền

(nghìn đồng)

Số khách hàng

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ1 cho HS khảo sát thời gian tự học của các HS khác trong lớp theo mẫu:

- GV có thể gợi ý cho HS:

+ Dựa trên mẫu khảo sát ta chỉ thu được số liệu dạng ghép nhóm nên không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình.

+ Để ước lượng thời gian tự học trung bình, trong mỗi nhóm ta chọn một giá trị đại diện và xem như các giá trị trong nhóm bằng nhau và bằng giá trị đại diện này.

- GV giới thiệu công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

theo như khung kiến thức trọng tâm trong SGK.

- GV giảng phần Chú ý theo SGK để cho HS biết cách xử lý khi gặp mẫu số liệu ghép nhóm cho số liệu rời rạc.

- GV hướng dẫn cho HS làm Ví dụ 1.

+ Trong mỗi nhóm cân nặng ta chọn một giá trị đại diện là trung bình cộng của hai đầu mút nhóm đó và ta lập được bảng thống kê cân nặng của các HS.

+ Sau đó áp dụng công thức tìm số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm để tính toán.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 1.

+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ nêu hướng giải quyết bài toán này.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng làm bài và cả lớp cùng nhận xét bài làm của bạn.

- GV đặt câu hỏi cho HS:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm có bằng với số trung bình của mẫu số liệu gốc không? Số trung bình cho biết điều gì?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ1.

a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:

b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

- Thời gian tự học dưới  giờ, ta chọn giá trị đại diện là  giờ, tần số tương ứng là 5.

- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là , tần số tương ứng là 15.

- Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là  tần số tương ứng là 8.

- Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2.

=> Số trung bình là:

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Công thức

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là .

Trong đó  là cỡ mẫu và

 (với i = 1,…,k) là giá trị đại diện của nhóm .

Chú ý:

Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng , trong đó . Nhóm  được hiểu là nhóm gồm các giá trị . Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng hiệu chỉnh nhóm  với  thành nhóm . Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được bảng 3.4.

Ví dụ 1: (SGK – tr.63).

Hướng dẫn giải – (SGK – tr.63).

Luyện tập 1

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là . Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là

 (giờ).

Ý nghĩa

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV giảng và lấy ví dụ cho HS hiểu về khái niệm số trung vị là gì?

+ Số trung vị là số nằm giữa một tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự, và chia tập đó thành 2 nửa bằng nhau.

+ Ví dụ:

 dãy số:

 có cỡ mẫu là 7 (tức là có 7 số hạng), nên có số trung vị là 13.

 dãy số:

 có cỡ mẫu là 8 (tức là có 8 số hạng), nên có số trung vị là  .

- Từ đó GV cho HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện HĐ2.

 GV gợi ý:

+ Cỡ mẫu của mẫu số liệu là bao nhiêu?

+ Tìm số đứng giữa dãy và chia dãy số liệu ra thành 2 nửa bằng nhau. Đó chính là số trung vị.

+ Số trung vị đó thuộc nhóm có chiều cao là bao nhiêu?

- GV khái quát lại các bước thực hiện tìm số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho HS theo như SGK.

- GV cho HS thực hiện đọc – hiểu Ví dụ 2 và trình bày lại cách thực hiện.

- GV cho HS thảo luận với bạn cùng bàn thực hiện Luyện tập 2. Sau đó GV chỉ định 2 HS lên bảng làm bài.

+ Các HS khác làm bài vào vở và đối chiếu đáp án với bài giải trên bảng.

+ GV đi kiểm tra một số HS làm bài và hỗ trợ nếu cần.

+ GV nhận xét chữa chi tiết bài tập cho HS.

- GV nêu Ý nghĩa của Trung vị cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Công thức tính trung vị và các bước tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ2

Ta có: cỡ mẫu , là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu. Mà  thuộc  nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm

Các bước tìm số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [ ).

Bước 2: Trung vị là:

Trong đó n là cỡ mẫu,  là tần số nhóm p. Với , ta quy ước .

Ví dụ 2: (SGK – tr.64).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.64).

Luyện tập 2

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi x₁, x₂, ..., x₂₀₀ là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là: . Do 2 giá trị  thuộc nhóm  (Vì  nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó:

Ta có:

Ý nghĩa

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện HĐ3 để hiểu được tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

 Xét bảng thống kê của mẫu số liệu ghép nhóm phần HĐ2. Ta thấy:

+ , và số trung vị là 11. Nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của 10 số liệu đầu tiên

+ Tứ phân vị thứ ba chính là trung vị của 10 số liệu còn lại

- GV khái quát lại cách thực hiện tìm tứ phân vị trong mẫu số liệu ghép nhóm theo khung kiến thức trọng tâm trọng SGK cho HS.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 3. GV hướng dẫn:

+ Xác định nhóm chứa . Từ đó ta tính được  theo tứ phân vị thứ nhất.

+ Xác định nhóm chứa . Từ đó ta tính được  theo tứ phân vị thứ nhất.

- GV nêu cách xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ  thông qua phần nhận xét.

- GV triển khai Luyện tập 3 cho HS thảo luận nhóm 3 người và hoàn thành Luyện tập.

+ GV mời 2 HS lên bảng trình bày bài giải.

+ GV nhận xét, chữa bài chi tiết và lưu ý lại kinh nghiệm làm bài cho HS.

- GV mời 1 HS nêu phần Ý nghĩa cho cả lớp lắng nghe và ghi bài.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức:

+ Khái niệm và công thức tính tứ phân vị.

3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

HĐ3

Vì  nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó:

, mà  thuộc nhóm  nên tứ phân vị thứ nhất  thuộc nhóm

 Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy  nên . Ta có: , do đó  thuộc nhóm  nên tứ phân vị thứ ba  thuộc nhóm

Kết luận

- Để tính tứ phân vị thứ nhất  của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa , giả sử đó là nhóm thứ p: . Khi đó:

Trong đó n là cỡ mẫu,  là tần số nhóm p, với  ta quy ước .

Để tính tứ phân vị thứ ba  của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa . Giả sử đó là nhóm thứ p: . Khi đó:

Trong đó  là cơ mẫu,  là tần số nhóm , với  ta quy ước .

Tứ phân vị thứ hai  chính là trung vị .

Ví dụ 3: (SGK – tr.65).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.65).

Nhận xét

Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng  giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Luyện tập 3

Cỡ mẫu là

Tứ phân vị thứ nhất  là . Do  đều thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó, . Ta có:

Tứ phân vị thứ ba  là . Do  đều thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó, . Ta có:

Ý nghĩa

Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa  giá trị.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐ4.

+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trả lời câu hỏi a, và giải thích lý do.

+ Xét xem tần số lớn nhất trong bảng số liệu thuộc nhóm nào? Lấy số đó ước lượng cho mốt có hợp lý không?

 HS có thể lấy điểm đại diện thuộc nhóm mốt để xấp xỉ hoặc tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm như trong khung kiến thức để xấp xỉ.

- GV giới thiệu các bước và công thức tính mốt cho HS theo như khung kiến thức trọng tâm

- GV nêu phần Lưu ý.

- GV đặt câu hỏi: Nếu tần số của các nhóm số liệu bằng nhau hết thì có tìm được mốt không?

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 4.

+ Xác định tần số lớn nhất và nhóm chứa tần số đó. Từ đó tính được  dựa vào công thức tính mốt.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi làm phiếu bài tập để hoàn thành Luyện tập 4.

- GV mời 1 HS nêu Ý nghĩa của mốt.

- GV chia lớp thành các nhóm tương ứng với các tổ trong lớp. Các nhóm sẽ thảo luận và thực hiện trả lời câu hỏi phần Vận dụng.

+ Các nhóm cử 1 đại diện lên bảng trả lời. Các nhóm khác lắng nghe và nhận xét.

+ GV ghi nhận đáp án và nhận xét đáp án của các nhóm.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức:

+ Khái niệm về, các bước và công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

HĐ4

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm  là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là ; độ dài của nhóm .

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng:

Các bước thực hiện tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

- Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: .

- Bước 2. Mốt được xác định là:

Trong đó  là tần số của nhóm j (quy ước ) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý

Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

- Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghé nhóm không có mốt.

Ví dụ 4: (SGK – tr.66)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.66)

Luyện tập 4

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm

Ta có, . Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Ý nghĩa

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Vận dụng

Ta có:

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

+) Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số khách hàng là . Số trung bình là:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là

- Gọi  là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là . Do  thuộc nhóm  nên nhóm này chứa trung vị. Do đó,  và ta có:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu gốc thành hai phần, mỗi phần chứa  giá trị. Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất   là . Do  thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó,

 và ta có:

- Tứ phân vị thứ ba  là . Do  thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó,  và ta có:

- Tứ phân vị thứ hai

Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm . Ta có . Do đó

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.

PHIẾU BÀI TẬP

Bài 1. Luyện tập 4 (SGK – tr.66)

Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.

………………..………………..………………..………………..……………………

………………..………………..………………..………………..……………………

………………..………………..………………..………………..……………………