Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 16: Giới hạn của hàm số

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm.

- GV triển khai HĐ1 cho HS thực hiện thảo luận theo nhóm đôi.

+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ trả lời phần a.

+ Với  thay vào hàm số  từ đó tính được giới hạn của hàm số

+ GV hướng dẫn HS xét trường hợp  bất kì sao cho  bà .

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu phần khung kiến thức trọng tâm để giới thiệu cho HS về khái niệm giới hạn tại một điểm.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 1

+ Lấy dãy số  bất kì sao cho  và .

+ Rút gọn

+ Tính giới hạn .

- GV chỉ định một HS nhắc lại quy tắc tính giới hạn của dãy số.

- GV giới thiệu quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm theo như SGK.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 2 theo SGK và mời một số HS trình bày lại cách thực hiện.

- GV gợi ý cho HS thực hiện Ví dụ 3.

+ Mẫu thức có giới hạn là 0 khi

Ta cần nhân liên hợp phân thức với . Sau đó áp dụng quy tắc giới hạn của thương hai hàm số.

- GV cho HS thực hiện trao đổi, thảo luận Luyện tập 1 theo nhóm đôi

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài giải. HS dưới lớp đối chiếu bài làm và nêu nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

Nhiệm vụ 2: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên.

- GV cho HS thảo luận nhóm 3 người để thực hiện HĐ2.

+ Phần a, biến đổi  và

Nhận thấy  và .

 Từ đó tính được  và .

+ Phần b, áp dụng quy tắc tính giới hạn để thực hiện.

+ Phần c, vì  nên  và , ta tính được  và .

 Từ đó ta tính được giới hạn của  khi .

- GV khái quát nội dung kiến thức từ phần HĐ2 để giới thiệu cho HS khái niệm về giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số.

- GV hướng dẫn cho HS cách xác định giá trị hàm số khi  và khi  theo như SGK để hoàn thành Ví dụ 4.

- GV đặt câu hỏi: Với điều kiện nào thì  ?

- GV cho HS thảo luận nhóm 5 người theo phương pháp khăn trải bàn và thực hiện Luyện tập 2.

+ GV mời 2 HS bất kì lên bảng trình bày lời giải.

+ GV nhận xét và lưu ý lại kinh nghiệm làm bài cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm;

+ Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

+ Giới hạn một bên.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.

HĐ1

a) Biểu thức  có nghĩa khi

Do đó, tập xác định của hàm số  là .

b) Ta có:

c) Ta có:

Vì  và  với mọi  nên

Do đó, .

Khái niệm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm  và hàm số  xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm . Ta nói hàm số  có giới hạn là số L khi x dần tới  nếu với dãy số  bất kì, ,  và , ta có , kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 1: (SGK – tr.111)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Quy tắc

a) Nếu  và  thì:

, nếu

b) Nếu  với mọi  và  thì  và .

Chú ý:

+)  với  là hằng số.

+)  với .

Ví dụ 2: (SGK – tr.112).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Ví dụ 3: (SGK – tr.112)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112, 113).

Luyện tập 1

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi  nên ta không thể áp dụng trực tiếp quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Ta có:

Do đó

HĐ2

a) Ta có:  với mọi  =>  với mọi .

Do đó,

Ta cũng có:  với mọi  =>  với mọi .

Do đó,

b) Ta có

c) Ta có:

Vì , suy ra  và  với mọi .

Do đó,  và

Vậy  và .

Khái niệm

+ Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói số  là giới hạn bên phải của  khi  nếu với dãy số  bất kì thỏa mãn  và , ta có , kiếu hiệu .

+ Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói số  là giới hạn bên trái của  khi  nếu với dãy số  bất kì thỏa mãn  và , ta có , kí hiệu .

Ví dụ 4: (SGK – tr.113).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.113).

Chú ý;

 khi và chỉ khi .

Luyện tập 2

Với dãy số  bất kì sao cho  và , ta có

Do đó

Tương tự, với dãy số  bất kì sao cho  và , ta có .

Do đó

Khi đó,

Vậy

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ3 và cho HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện HĐ này.

+ GV gợi ý: Tính được kết quả của . Sau đó sử dụng quy tắc tính tổng giới hạn vô cực của dãy số để tính .

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức trọng tâm để giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.

- HS làm Ví dụ 5.

+ GV lưu ý cho HS công thức:

 thì  để áp dụng làm Ví dụ 5.

- GV trình bày một số quy tắc và công thức trong khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- GV cho HS đọc – hiểu Ví dụ 6 và trình bày lại cách thực hiện.

+ Tại sao  ?

+ Từ đó GV lưu ý cho HS công thức:

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện Luyện tập 3

+ GV gợi ý:

Biến đổi  thành

Biển đổi  thành

Từ đó sẽ tính được giới hạn của tử thức và mẫu thức.

- GV cho HS thảo luận theo 5 người, sử dụng phương pháp khăn trải bàn để xử lý bài tập vận dụng .

 GV có thể gợi ý như sau:

a) Tính  theo :

Chú ý  (hai lần diện tích ). Do đó  Từ đó suy ra được .

b) Khi  dịch chuyển về  thì . Khi đó , tức là độ dài  dần đến . Nói cách khác  cũng dịch chuyển về .

c) Khi  dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục  thì . Khi đó . Tức là  dịch chuyển về .

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Khái niệm giới hạn của hàm số tại vô cực;

+ Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại vô cực.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

HĐ3

Với  là dãy số sao cho

Ta có:

Khi  thì

Do đó

Khái niệm

- Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói hàm số  có giới hạn là số  khi  nếu với dãy số  bất kì,  và , ta có . Kí hiệu  hay  khi

- Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói hàm số  có giới hạn là số  khi  nếu với dãy số  bất kì,  và , ta có , kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 5: (SGK – tr.114).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.114).

Quy tắc và công thức

+ Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

+ Với  là hằng số, ta có: , .

+ Với  là một số nguyên dương, ta có:

Ví dụ 6: (SGK – tr.115)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.115).

Luyện tập 3

Ta có:

Vận dụng

a) Ta có:  => ;  => .

Áp dụng định lý Pythagore vào  vuông có:

Ta có:

=> .

b) Khi điểm  dịch chuyển về , ta có , suy ra , do đó điểm  dịch chuyển về điểm .

c) Khi  dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục , ta có .

Ta có:

Do đó điểm  dịch chuyển về .