Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 7: Cấp số nhân

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi lần lượt HĐ1.

+ HS lên bảng viết 5 số hạng đầu tiên.

+ 1 HS đứng tại chỗ dự đoán mối liên hệ giữa  và .

- GV trình bày phần kiến thức trong khung kiến thức trọng tâm, viết công thức cấp số nhân cho bởi hệ thức truy hồi lên bảng.

+ HS ghi bài vào vở.

- GV cho HS suy nghĩ phần Câu hỏi (SGK – tr.52) và gọi 1 HS đứng tại chỗ trả lời câu hỏi.

- GV hướng dẫn HS dùng hệ thức truy hồi để giúp HS làm và hiểu được Ví dụ 1.

- GV gợi ý cho HS thảo luận theo bàn về Ví dụ 2, sau đó GV mời 1 HS trình bày lại cách thực hiện bài này:

+ GV: Các em cần lưu ý phương pháp giải ở đây là xét thương  của hai số hạng liên tiếp bất kì. Nếu thương này là một hằng số không đổi thì dãy số đó là một cấp số nhân; Nếu trái lại thì nó không phải là một cấp số nhân.

- GV cho HS tự làm phần Luyện tập 1 và mời 1HS đứng tại chỗ trình bày hướng giải và 1 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ GV đi kiểm tra một số HS làm bài và giải bài.

+ GV nhận xét bài trên bảng và chốt đáp án cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Định nghĩa của cấp số nhân và công thức cho bởi hệ thức truy hồi.

1. Định nghĩa

HĐ1.

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

b) Ta có:

suy ra .

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa  và  là:

 với

Kết luận

+ Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

+ Cấp số nhân  với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

 với .

Câu hỏi

Dãy số không đổi  là một cấp số nhân với công bội .

Ví dụ 1 : (SGK – tr.52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.52).

Ví dụ 2: (SGK – tr .52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr53).

Luyện tập 1

Với mọi , ta có:

Tức là  với mọi .

Vậy  là một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS tự thực hiện lần lượt các phần trong HĐ2

+ GV mời 1 HS thực hiện phần a và dự đoán phần b.

+ Các HS khác nêu ý kiến của mình. GV chốt đáp án cho HS.

* GV không cần yêu cầu HS phải chứng minh chặt chẽ bằng quy nạp toán học.

- GV viết bảng (hoặc trình chiếu) phần khung kiến thức trọng tâm cho HS quan sát và ghi chép bài vào vở.

- GV cần hướng dẫn và chỉ cho HS thấy điểm mấu chốt để thực hiện được phần Ví dụ 3.

+ GV: Điểm mấu chốt ở đây là xác định được số hạng đầu và công bội. Từ đó ta có thể xác định được số hạng bất kì của cấp số nhân.

- GV dẫn dắt HS làm Ví dụ 4:

+ GV mời 1 HS sử dụng công thức số hạng tổng quát để lập hệ phương trình với ẩn là số hạng đầu và công bội.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng giải hệ này để xác định được các yếu tố cơ bản của cấp số nhân.

- GV cho HS thảo luận theo nhóm 4 người để hoàn thành Luyện tập 2.

+ Các nhóm thảo luận và đưa ra cách giải và đáp án để tranh luận với nhau.

+ GV ghi nhận các kết quả và chốt lại đáp án cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Công thức của số hạng tổng quát cho một cấp số nhân.

1. Số hạng tổng quát

HĐ2

a) Ta có:

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo

 và  là  với

Kết luận

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu  và công bội q thì số hạng tổng quát  của nó được xác định bởi công thức

 với .

Ví dụ 3: (SGK – 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53).

Ví dụ 4: (SGK – tr. 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53, 54).

Luyện tập 2.

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm  mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội  và  là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có:

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS tự thực hiện lần lượt các yêu cầu của HĐ3 để xây dựng được công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân.

+ GV quan sát HS và hỗ trợ HS khi cần.

+ GV mời 3 HS trình bày câu trả lời và chốt đáp án để dẫn vào Kết luận trong phần khung kiến thức trọng tâm.

- GV cho HS suy nghĩ Câu hỏi trong (SGK – tr.54) và GV mời 1 HS đứng tại chỗ để trình bày hướng giải.

- GV cho HS đọc phần Ví dụ 5 và hướng dẫn HS làm bài: Các em cần hiểu được tổng số lương của chuyên giá đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

- GV cho HS thảo luận, đọc – hiểu phần Ví dụ 6 và trình bày lại cách làm cho GV và cả lớp cùng nghe.

- GV chia nhóm cho HS, mỗi nhóm tương ứng với mỗi nhóm là mỗi tổ trong lớp để làm phần Vận dụng.

+ Các tổ thực hiện trao đổi và cử một đại diện trình bày câu trả lời.

+ Các tổ khác lắng nghe và đưa ra nhận xét, phản biện và tranh luận.

+ GV chốt đáp án cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức:

+ Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân và công thức của nó.

1. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

HĐ3

a) Ta có: ;

.

Do đó,

(1).

b) Ta có:

 (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

với .

Kết luận

Cho cấp số nhân  với công bội . Đặt . Khi đó

Câu hỏi

Nếu cấp số nhân có công bội  thì cấp số nhân là  Khi đó

 (tổng của  số hạng ).

Ví dụ 5: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54).

Ví dụ 6: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55).

Vận dụng

Ta có: 3 năm bằng 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là:  (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay  triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là  (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai  Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là:

       (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là:  (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội .

Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý là

 (triệu đồng).

+ Vì , do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.