Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ 1. GV có thể cho HS nhắc lại khái niệm góc giữa hai đường thẳng.

- GV hướng dẫn HS hình thành khái niệm góc giữa hai mặt phẳng.

+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi nào?

+ Khoảng giá trị của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là bao nhiêu?

- HS suy nghĩ trả lời Câu hỏi (SGK-tr.44).

- GV hướng dẫn HS thực hiện vẽ hình, trình bày Ví dụ 1.

+ Lấy điểm

+ Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng định nghĩa, tức là vẽ hai đường thẳng qua E lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Ta chỉ cần kẻ

+ Giải thích vì sao

+ Giải thích vì sao

- GV giới thiệu ở ví dụ 1, cho ta một cách xác định góc giữa hai mặt phẳng thường gặp.

Từ đó có Nhận xét.

- HS làm Luyện tập 1 theo nhóm đôi.

+ Lưu ý: bài toán chứng minh hai chiều.

+ Xác định giao tuyến giữa (SAC) và (SBD).

+ Xác định mặt phẳng vuông góc với SO. Từ đó xác định góc giữa (SAC) và (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng nào?

- HS thực hiện HĐ 2.

Từ đó nếu   mà thì mối quan hệ của (P) và (Q) là gì?

- HS phát biểu định lí. GV giới thiệu đây là một điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

- Sử dụng điều kiện đó HS trình bày Ví dụ 2.

+ Xác định đường thẳng thuộc (OAB), (OAC) và vuông góc với (OBC).

- HS thưc hiện Luyện tập 2, vận dụng điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

HĐ 1:

Vì và  cùng vuông góc với  nên chúng song song hoặc trùng nhau.

Tương tự, và song song hoặc trùng nhau.

Vậy

Kết luận

Cho hai mặt phẳng và Lấy các đường thẳng tương ứng vuông góc với . Khi đó góc giữa và  không phụ thuộc vào vị trí của  và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng  và (Q).

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .

Chú ý: Nếu  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì .

Câu hỏi:

Xét hai đường thẳng  tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng .

Khi đó góc giữa khi và chỉ khi , hay a và b song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ 1 (SGK -tr.45)

Nhận xét:

tại O;  tại O

Khi đó

Đặc biệt,  khi và chỉ khi

Luyện tập 1

Gọi  là giao điếm của  và .

Vì  và

 ((  

Do đó

 là hình vuông.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 2:

a) Vì  và  nên .

Vậy .

b) Do  và  tương ứng vuông góc với  và .

Do đó,   

Kết luận

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 2 (SGK -tr.45)

Luyện tập 2

Mặt phẳng cánh của chứa đường thẳng nối các bản lề. Mặt khác đường thẳng này vuông góc với sàn nhà.

Do đó mặt phẳng cánh cửa vuông góc với sàn nhà.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thực hiện HĐ 3.

+ a) Góc (a,b) bằng góc giữa hai mặt phẳng nào?

+ b) xác định các đường thuộc mặt phẳng (Q) và vuông góc với

- Từ kết quả HĐ 3, dẫn dắt HS tới tính chất hai mặt phẳng vuông góc.

+ Có thể nhắc lại về hai mặt phẳng song song để HS tránh nhầm lần: nếu // (P) thì song song với mọi đường trong (Q).

- GV đặt câu hỏi:

Cho qua O kẻ đường thẳng vuông góc với (Q) thì đường thẳng đó có mối quan hệ gì với mặt phẳng (P)?

- HS thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐ 4.

+ a) sử dụng nhận xét vừa học chỉ ra 

- Từ kết quả HĐ 4, nếu (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến của (P) và (Q) có mối quan hệ gì với

Đây là tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng.

- HS thảo luận, đọc hiểu Ví dụ 3.

+ a) Chỉ ra đường thẳng thuộc (SBC)  mà vuông góc với (SAB).

Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh

+ b)  cùng vuông góc với đường thẳng nào?

- HS thực hiện Luyện tập 3.

+ Nhận biết hai mặt phẳng vuông góc với nhau và vận dụng tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

3. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 3:

Mà  (Q) .

b) Vì  , nên .

Kết luận

- Với hai mặt phằng vuông góc với nhau, bất kì đường thằng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Nhận xét

Cho Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

HĐ 4:

a) Do   và đường thẳng  đi qua  vuông góc với  nên  . Tương tự,   .

b) Do    và  nên

c) Do  trùng  nên  .

Kết luận:

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Ví dụ 3 (SGK -tr.46)

Luyện tập 3

a) Vì ,

.

Vì .

b) Ta có: ,

.

Lại có

.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn

thành HĐ 5.

+ a) HS đưa ra nhận định của mình.

+ b) Theo a góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt chứa lưng ghế có bằng góc giữa hai đường thẳng nào, từ đó xác định số đo có thể nhận được.

- GV trình bày, giảng giải về khái niệm góc nhị diện, khái niệm góc phẳng nhị diện.

- GV đặt câu hỏi

+ Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị trong khoảng nào?

+ Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bao nhiêu góc nhị diện?

- HS trình bày Ví dụ 4.

Nhận biết góc nhị diện, góc phẳng nhị diện và tính số đo của góc nhị diện.

- Tương tự, HS làm Luyện tập 4.

+ Xác định góc nhị diện [S,BC,A].

+ Tính số đo góc nhị diện trên.

- HS thảo luận nhóm đôi làm Vận dụng 1. GV hướng dẫn, gợi ý.

+ Gọi tâm của các nửa hình tròn.

+ Xác định giao tuyến của các mặt phẳng chứa khung cửa và mặt chứa cánh cửa.

+ Phát hiện và chứng minh tính chất của OI, OJ với giao tuyến trên.

+ Xác định góc nhị diện chứa khung và cánh cửa.

+ Tính góc phẳng nhị diện vừa tìm được ở trên. Chú ý mối quan hệ của IJ và d.

- GV giải thích khái niệm vĩ độ và kinh độ, vận dụng hiểu biết về số đo góc nhị diện, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

4. Góc nhị diện

HĐ 5:

a) Góc

b) Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng chứa

Vì  nên góc giữa hai đường thẳng tương úng chứa  có thể nhận số đo từ  đến .

Vậy góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ  đến .

Kết luận:

- Hình gồm hai nửa mặt phằng  có chung bờ a được gọi là một góc nhi diện, kí hiệu là . Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng  tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

- Từ một điểm  bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện , vẽ các tia  tương ứng thuộc  và vuông góc với a. Góc  được gọi là một góc phẳng aủa góc nhị diện  (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc  không phụ thuộc vào vị trí của  trên , được gọi là số đo của góc nhị diện .

Chú ý:

+ Số đo góc nhị diện có thể nhận giá tị từ  đến  Góc nhị diện được gọi là vuông , nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn .

+ Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng

Kí hiệu  là góc nhị diện có cạnh và các mặt tương ứng chứa M, N.

+ Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện.

Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

Ví dụ 4 (SGK-tr.48)

Luyện tập 4

a)  là một góc phẳng nhị diện  ].

b)

.

Vận dụng 1

+) Gọi  lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh của.

+) Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến  (qua  ) của hai mặt phẳng tương ứng chứa khung và cánh cửa.

+) Vì O là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa nên

  vuông góc với đường kính khung cửa.

OJ vuông góc với đường kính cánh cửa.

 là một góc phẳng nhị diện của nhị diện có hạnh cạnh tương ứng chứa cánh và khung cửa.

+) Ta có  nên .

Vậy  cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa. Do đó .

Mặt khác , suy ra tam giác  đều và .

Vậy để khoảng cách  giữa đường kính cánh của và đường kính khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa cánh và khung của có số đo là 

*) Kinh độ và vĩ độ

- Hình ảnh các kinh tuyến và vĩ tuyến

- Kinh độ của điểm P trên Trái Đất là: số đo của góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa kinh tuyến gốc và kinh tuyến đi qua  P (cạnh của góc nhị diện này là trục Trái Đất).

- Vĩ độ của điểm P trên Trái Đất là: số đo của góc giữa mặt phẳng chứa đường xích đạo và đường thẳng nối P với tâm Trái Đất.

Vĩ độ phi và Kinh độ lambda

- Mỗi điểm trên Trái Đất sẽ thuộc một trong hai bán cầu Bắc hoặc Nam và thuộc nửa Đông hay nửa Tây.

Ví dụ: Bia Chủ quyền đảo Song Tử Tây có vị trí:

video giới thiệu về kinh độ, vĩ độ

(chú thích: latitude- vĩ độ, longitude – kinh độ).

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS thế nào là hình lăng trụ.

- GV cho HS thảo luận nhóm (4 người/1 nhóm), thực hiện Phiếu bài tập 1, từ đó hình thành kiến thức về hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

+ GV có thể cho HS quan sát, tìm hiểu Ví dụ 5 trước khi làm HĐ 9.

- HS hoạt động cá nhân làm Vận dụng 2.

- HS thực hiện HĐ 11. GV hướng dẫn.

+ Giả sử tháp có dạng hình chóp  với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau. Gọi hình chiếu của đỉnh trên đáy là O, hãy chứng minh O là tâm của đáy.

5. Một số hình lăng trụ đặc biệt

a) Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

HĐ 6:

Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành. Mặt khác, lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy

Các cạnh bên vuông góc với các cạnh đáy.

Do đó hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

Vì vậy cạnh bên vuông góc với đáy nên các mặt bên cũng vuông góc với đáy.

Kết luận

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

b) Hình lăng trụ đều

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đựng có đáy là đa giác đều.

HĐ 7:

Hình lăng trụ đểu là hình lăng trụ đứng nên các mặt bên của nó là các hình chữ nhật. Mặt khác, các cạnh đáy của lăng trụ đều bằng nhau và các cạnh bên của một lăng trụ luôn bằng nhau. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chũ̃ nhật có cùng kích thước.

Kết luận:

Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

c) Hình hộp đứng

Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành.

HĐ 8:

Hình hộp đứng là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, có 4 mặt bên là các hình chữ nhật, còn hai đáy là hai hình bình hành. Do đó nó có ít nhất 4 mặt là bốn hình chữ nhật, đó là các mặt bên.

Kết luận:

Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

d) Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

HĐ 9:

a) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

Vì hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng nên các mặt bên là các hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có thêm 2 đáy là hình chữ nhật.

b) Xét hình hộp chữ nhật

Ta có: là hình chữ nhật nên đường chéo và  bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Tương tự với hai đường chéo

Ví dụ 5 (SGK -tr.50)

Kết luận

Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình chữ nhật. Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

e) Hình lập phương

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

HĐ 10:

Các mặt của hình lập phương là hình vuông.

Vì hình lập phương có các mặt là hình chữ nhật và có các cạnh bằng nhau nên các mặt đó là hình vuông.

Kết luận

Hình lập phương có các mặt là các hình vuông.

Chú ý

Khi đáy của hình lăng trụ đứng (đều) là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta cũng gọi tương ứng là hình lăng trụ đứng (đều) tam giác, tứ giác, ngũ giác,…

Ví dụ 6 (SGK -tr.50)

Vận dụng 2

Thùng có đáy và các mặt bên là các hình chữ nhật.

  Miệng thùng là một hình chữ nhật (có các cạnh tương ứng song song và bằng cạnh đáy) thuộc mặt phẳng song song với đáy. Vì các cạnh bên song song với nhau nên thùng là một hình lăng trụ.

Mặt khác, mỗi cạnh bên của thùng đều vuông góc với đáy (vì vuông với hai cạnh kể của đáy). Do đó thùng là lăng trụ đứng, hơn nữa, có đáy là hình chữ nhật nên thùng có dạng hình hộp chữ nhật.

6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

HĐ 11:

Giả sử tháp có dạng hình chóp  với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy. Do  nên áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác  ta nhận được .

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông tức là O là tâm hình vuông ABCD.

Kết luận