Soạn mới giáo án Toán 11 KNTT bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận hoàn thành HĐ 1.

- GV cho HS nhắc lại thế nào là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương .

- GV giới thiệu: ta xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương . Nếu  vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

- GV dẫn dắt:

+ Phép chiếu vuông góc có tính chất của phép chiếu song song không? Vì sao?

+ GV giới thiệu về hình chiếu của hình  trên

- HS suy nghĩ trả lời Câu hỏi (SGK).

+ HS vẽ hình mình họa cho các trường hợp.

- HS suy nghĩ trả lời HĐ 2. GV gợi ý:

+ a) Để xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng ta làm thế nào?

Xác định được hình chếu của 2 điểm M, N trên (P) rồi từ đó xác định hình chiếu a’.

+ b) +c)  Có thể chứng minh b vuông góc với những đường thẳng nào trong mặt phẳng ?

- GV dẫn dắt HS: ta nhận thấy nếu đường thẳng  vuông góc với hình chiếu của a lên (P) thì b vuông góc a. Ngược lại: b vuông góc với a thì vuông góc với hình chiếu của a trên (P).

+ HS phát biểu lại khái quát định lí.

- GV nhấn mạnh:

Định lí ba đường vuông góc cho phép chuyển việc kiểm tra tính vuông góc giữa a và b sang kiểm tra tính vuông góc giữa b và hình chiếu a’ của a. Khi đó b và a’ cùng thuộc một mặt phẳng (P) nên có thể sử dụng các tính chất hình học phẳng để kiểm tra.

- HS quan sát, đọc Ví dụ 1. GV hướng dẫn, giảng giải.

+ Xác định hình chiếu của các điểm M, P, N, Q trên mặt phẳng sân.

+ b) Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

+ c) Nếu ABCD là hình bình hành thì hình chiếu của E và F trên sân là điểm nào? Vì sao?

- HS thực hiện Luyện tập 1.

+ a) Chứng minh các tam giác bằng nhau.

+ b) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC).

+ c) Sử dụng định lí ba đường vuông góc hoặc chứng minh

+ d) Xác định hình chiếu của các đỉnh của tam giác đã cho.

- HS làm HĐ 3: quan sát hình ảnh, xác định các dữ kiện để kết luận.

- GV giới thiệu về

+ Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

+ Trường hợp đặc biệt  thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là .

- HS quan sát Hình 7.38, GV giảng giải các trường hợp

+

+ cắt (P).

+ // (P).

+

- Số đo góc giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng giá trị nào?

- Cho hình vẽ sau, nếu thì góc giữa AO và (P) bằng góc nào?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ 1:

a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên mặt sân.

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân thì hình chiếu của cột thu về chân cột nên ta không thể quan sát.

Kết luận

Phép chiếu song song lên mặt phẳng  theo phương  vuông góc với  được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng

Chú ý:

- Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

- Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi là phép chiếu lên mặt phẳng (P).

Hình chiếu vuông góc  của hình  trên còn được gọi là hình chiếu của  trên

Câu hỏi:

a) vuông góc với mặt phẳng

b) Trong trường hợp này, hình chiếu vuông góc của đường thẳng  trên mặt phẳng  là một điểm, là giao điểm của  và

HĐ 2:

a) Hình chiếu vuông góc của a trên (P) là đường thẳng

b)

c)

Kết luận: Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng  và mặt phẳng  không vuông góc với nhau. Khi đó một đường thẳng  nằm trong  và vuông góc  với đường thẳng khi và chỉ khi  vuông góc với hình chiếu vuông góc  của  trên (

Ví dụ 1 (SGK -tr.39)

Luyện tập 1

a) Do

nên

Vậy O là tâm đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Hình chiếu của  trên mặt phẳng  là

c) Do  nên , mà

 suy ra BC

Do dó .

d) Hình chiếu của mỗi tam giác  trên mặt phẳng (ABC) lần lượt là tam giác

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ 3:

Thông tin chưa đủ để xác định độ cao.

Kết luận

- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng

- Nếu đường thẳng  không vuông góc với mặt phẳng  thì góc giữa và hình chiếu  của nó trên  được gọi là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng

Chú ý:

Nếu  là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  thì .

Nhận xét:

Cho điểm có hình chiếu trên mặt phẳng  Lấy điểm  thuộc mặt phẳng   không trùng  Khi đó góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  bằng góc

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS đọc, trình bày và giải thích Ví dụ 2.

+ a) Xác định hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC), rồi xác định góc

+ b) Xác định hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB).

Sau đó xác định góc giữa SC và (SAB).

- HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện Vận dụng:

+ Yêu cầu HS nhắc lại tính chất của phép chiếu song song:

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song có phương khác phương chiếu thành hai đường thẳng như thế nào?

+ Lấy hai vị trí trục của Trái Đất là a và b, có hai hình chiếu tương ứng là a’, b’. Khi đó nhận xét vị trí của a’ và b’.

+ b) Hình chiếu của trục Trái Đất lên mặt phẳng (P) có phương như thế nào?

Nếu là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương là phương chiếu của trục Trái Đất trên (P).

Theo yêu cầu đề bài để hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất; thì hình chiếu của trục Trái Đất phải thuộc đường thẳng nào?

+ Tìm điều kiện để điều đó xảy ra.

- HS suy nghĩ thực hiện Khám phá. GV hướng dẫn HS xét trường hợp:

+ Đường thẳng  không vuông góc với  và cắt  tại một điểm .

+  vuông góc với .

+  song song hoặc thuộc .

- GV chia lớp thành các nhóm (4 người/ 1 nhóm) để thực hành phần Trải nghiệm.

- GV hướng dẫn HS cách bước thức hiện

+ 2 HS giữ cố định dây (nên cho một đầy dây gắn xuống đất), một số HS khác lần lượt xác định hình chiếu vuông góc của dây trên sàn nhà và đo góc.

Ghi lại các kết quả và so sánh.

+ Lưu ý: HS có thể dùng dây rọi để xác định phương vuông góc với sàn nhà nằm ngang.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

Ví dụ 2 (SGK -tr.41)

Vận dụng

a) Gọi là một vị trí của trục Trái Đất; tương ứng là hình chiếu của  trên (P).

Nếu  có phương không đổi thì hình chiếu của  lên  có phương không đổi; nên có phương không đổi.

Gọi  là một vị trí trục của Trái Đất khác trục ; tương ứng là hình chiếu của  trên (P).

Ta có:  có phương khác phương chiếu;

// hoặc và  trùng nhau (tính chất phép chiếu song song).

Vậy hình chiếu của trục Trái Đất có phương không đổi.

b)

Gọi là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương là phương chiếu của trục Trái Đất trên (P).

Suy ra m có phương không đổi.

Khi đó hình chiếu của trục Trái Đất xuống (P) thuộc đường thẳng m khi và chỉ khi tâm Trái Đất là giao của m với đường elip quỹ đạo của Trái Đất.

Vậy có hai vị trí thuộc quỹ đạo, ứng với hai thời điểm trong năm mà hình chiếu của trục Trái Đất trên (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Khám phá

Trường hợp 1. Đường thẳng  không vuông góc với  và cắt  tại một điểm . Lấy điểm  khác  thuộc  và gọi  là hình chiếu vuông góc của  trên .

Khi đó,  và

Vậy góc giữa  và  phụ với góc giữa  và .

Trường hợp 2:  vuông góc với .

Trường hợp 3: song song hoặc thuộc .

Khi đó,  và .

Như vậy kết luận đã nêu trong trường hợp 1 cũng đúng đối với cả hai trường hợp sau.

Trải nghiệm

Đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học.