Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới Bài tập cuối chương IX

A. TRẮC NGHIỆM

Bài tập 9.37 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho ABC là tam giác không cân. Biết  $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.  $\Delta A'C'B'$ ~ $\Delta ACB$ 

B.  $\Delta B'C'A'$ ~ $\Delta BAC$ 

C.  $\Delta B'A'C'$ ~ $\Delta BCA$ 

D.  $\Delta A'C'B'$ ~ $\Delta ABC$ 

 Hướng dẫn giải

Khẳng định A là khẳng định đúng 

Bài tập 9.38 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho  $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng bằng 2. Khẳng định nào sau đây là đúng

A. $\frac{AB}{A'B'}=2$

B. $\frac{AB}{A'C'}=2$

C. $\frac{A'B'}{AB}=2$

D. $\frac{A'B'}{AC}=2$

 Hướng dẫn giải

 - Có $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$

=> $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=2$

=> Đáp án đúng là đáp án C

Bài tập 9.39 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Trong các bộ ba số đo dưới đây, đâu là số đo ba cạnh của một tam giác vuông?

A. 3 m; 5 m; 6 m

B. 6 m; 8 m; 10 m

C. 1 cm; 0,5 cm; 1,25 cm

D. 9 m; 16 m; 25 m. 

 Hướng dẫn giải

Xét đáp án B nhận thấy: $6^{2}+8^{2}=10^{2}$

=> Đáp án đúng là đáp án B

Bài tập 9.40 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEF vuông tại D. Điều nào dưới đây không suy ra  $\Delta ABC$ ~ $\Delta DEF$ 

 Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là đáp án D

B. TỰ LUẬN

Bài tập 9.41 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho hình 9.73, biết rằng MN // AB, MP // AC. Hãy liệt kê ba cặp hai tam giác (khác nhau) đồng dạng có trong hình

 Hướng dẫn giải

-  $\Delta CNM$ ~ $\Delta CAB$ (vì MN // AB) (1)

- $\Delta MPB$ ~ $\Delta CAB$ (vì MP // AC) (2)

- Từ (1) và (2) => $\Delta CNM$ ~ $\Delta MPB$ 

Bài tập 9.42 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho hình 9.74, biết rằng $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$. Chứng minh rằng $\Delta ABD$ ~ $\Delta ACE$ và $\Delta BOE$ ~ $\Delta COD$ 

 Hướng dẫn giải

- Xét tam giác ABD và tam giác ACE có $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$, góc A chung

=> $\Delta ABD$ ~ $\Delta ACE$ (g.g)

- Vì $\Delta ABD$ ~ $\Delta ACE$ 

=> $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$

=> $\widehat{CDO}=\widehat{BEO}$ (1)

- Có $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

mà $\widehat{ABD}+\widehat{EBO}=180$

      $\widehat{ACE}+\widehat{DCO}=180$

=> $\widehat{EBO}=\widehat{DCO}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\Delta BOE$ ~ $\Delta COD$ (g.g)

Bài tập 9.43 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại điểm G (H.9.75). Chứng minh rằng tam giác GMN đồng dạng với tam giác GBC và tìm tỉ số đồng dạng 

 Hướng dẫn giải

- Xét tam giác ABC có, $NA=NB$, $MA=MC$

=> NM là đường trung bình của tam giác ABC

=> NM // BC, $NM=\frac{1}{2}AB$

- Xét tam giác GMN và tam giác GBC có NM // BC => $\Delta GMN$ ~ $\Delta GBC$ 

Bài tập 9.44 trang 111 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=5cm$, $AC=4cm$. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB
a) Chứng minh rằng $\Delta HDA$ ~ $\Delta AHC$ 

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD

 Hướng dẫn giải

a) Có AB ⊥ AC, HD ⊥ AB

=> HD // AC

=>$\widehat{DHA}=\widehat{HAC}$ 

- Xét tam giác vuông HDA (vuông tại D) và tam giác vuông AHC (vuông tại H) có: $\widehat{DHA}=\widehat{HAC}$ 

=> $\Delta HDA$ ~ $\Delta AHC$ 

b) Xét tam giác ABC có: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

mà $AB=5cm$, $AC=4cm$

=> $BC=\sqrt{41}$

- Có $AH.BC=AB.AC$

=> $AH=\frac{20\sqrt{41}}{41}$

=> $HB=AB^{2}-AH^{2}$ (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BHA)

=> $HB=\frac{25\sqrt{41}}{41}$

=> $HC=\frac{16\sqrt{41}}{41}$

- Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông BAC có: HD // AC

=> $\Delta BDH$ ~ $\Delta BAC$ 

=> $\frac{BH}{BC}$=$\frac{DH}{AC}$

=> $HD=\frac{100}{41}$

Bài tập 9.45 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết $AH=12cm$, $CH=9cm$, $BH=16cm$. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A

b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN

c) Tính diện tích tam giác AMN 

 Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có:

$AH^{2}+HB^{2}=AB^{2}$ (định lý Pythagore)

=> $AB^{2}=12^{2}+16^{2}$

=> $AB=20cm$

Tương tự, có: $AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$ (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC)

=> $AC^{2}=12^{2}+9^{2}$

=> $AC=15cm$

Có $BC=9+16=25$

Trong tam giác ABC, nhận thấy $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

=> Tam giác ABC vuông tại A

b) Xét tam giác AHB có: 

M là trung điểm của AH

B là trung điểm của BH

=> MN là đường trung bình của tam giác AHB

=> MN // AB

mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A)

=> MN ⊥ AC

Bài tập 9.46 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a)$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$, từ đó suy ra $AE=\frac{AB.AC}{AB+AC}$

b) $\Delta DFC$ ~ $\Delta ABC$ 

c) $DF=DB$

 Hướng dẫn giải

a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC

$=> \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC} => DB.AC=DC.AB$

Ta có:

$BD.(AB+AC)=DB.AB+DC.AB=DB.AB+DC.AB+AB(DB+DC)$

$=> BD.(AB+AC)=AB.BC$

$=> \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$ (1)

Xét $\Delta CED và \Delta CAB$ có

$\widehat{C}$ chung, $\widehat{A}=\widehat{E}$

$=> \Delta CED \sim \Delta CAB$ (g.g)

$=> \frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}$

$=> \frac{AC-AE}{AC}=\frac{BC-BD}{BC}$

$=> 1-\frac{AE}{AC}=1-\frac{DB}{BC}$

$=> \frac{AE}{AC}=\frac{DB}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AB+AC}$

=> $AE=\frac{AB.AC}{AB+AC}$

b) Xét hai tam giác DFC và tam giác ABC, có

$\widehat{C}$ chung, $\widehat{A}=\widehat{E}=90^{\circ}$

=> $\Delta DFC\sim \Delta ABC$

c) Có $\Delta DFC\sim \Delta ABC$

=> $\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AC} => DF=\frac{AB.DC}{AC}$ (3)

Ta có $DB.AC=DC.AB => DB=\frac{DC.AB}{AC}$ (4)

Từ (3) và (4)

$=> DF=DB$

Bài tập 9.47 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT. Để tính được chiều cao gần đúng của kim tự tháp Ai Cập, người ta nắm 1 cây cọc cao 1m vuông góc với mặt đất và đo được bóng cây cọc trên mặt đất là 1,5m. Khi đó chiều dài bóng của kim tự tháp trên mặt đất là 208,2 m. Hỏi kim tự tháp cao bao nhiêu mét?

 Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ 

Vì trong cùng một thời điểm, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất các góc bằng nhau

=> $\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$

- Xét hai tam giác vuông BAC (vuông tại B) và tam giác B'A'C' (vuông tại B') có:  $\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$

=> ΔB'A'C' ~ ΔBAC

=> $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$

=> $\frac{1}{AB}=\frac{1,5}{208,2}$

=> $AB=138,8 m$

Bài tập 9.48 trang 110 Toán 8 tập 2 KNTT: Từ căn hộ chung cư nhà mình, bạn Lan đứng cách cửa sổ 1m nhìn sang tòa nhà đối diện thì vừa nhìn thấy đúng tất cả 6 tầng của tòa nhà đó. Biết rằng cửa sổ nhà Lan cao 80cm và mỗi tầng của tòa nhà đối diện 4m. Hỏi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến tòa nhà đối diện là bao nhiêu? 

 Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ

Có OE = 1m; AB = 0,8m; CD = 6.4 = 24m

Xét tam giác OAB và tam giác OCD có: AB // CD

=> ΔOAB ~ ΔOCD

=> $\frac{OE}{OF}=\frac{AB}{CD}$

=> $\frac{1}{OF}=\frac{0,8}{24}$

=> $OF = 30 (m)$

=> $EF = 30 - 1 = 29 m$

Vậy khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến tòa nhà đối diện là 29m