HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ 1. GV giới thiệu:

+ Hình vẽ thu được ở HĐ1b  gọi là một đồ thị.

+ HS nêu lại định nghĩa về đồ thị.

- GV chú ý cho HS về bản chất của đồ thị là có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh, đỉnh nào được nối với đỉnh nào.

- GV giới thiệu cách thường sử dụng kí hiệu về đỉnh, cạnh, hai đỉnh kề nhau, khuyên.

+ GV có thể hỏi thêm: Nêu các đỉnh và cạnh trong hình 2.1? Xác định hai đỉnh kề nhau và khuyên trong hình 2.1?

- HS quan sát và đọc hiểu Ví dụ 1.

- GV lưu ý: khi kể tên các cạnh của đồ thị, nếu có nhiều cạnh nối hai đỉnh A và B thì ta phải kể tên hết các cạnh đó, chứ không phải chỉ liệt kê AB một lần.

- HS áp dụng làm Luyện tập 1.

+ Vẽ đồ thị và xác định các đỉnh, các cạnh.

- HS thực hiện HĐ 2.

- GV giới thiệu về đơn đồ thị, đa đồ thị.

+ Lưu ý: Nếu chỉ nói “đồ thị” thì ta hiểu là đơn đồ thị.

- HS quan sát Ví dụ 2, xác định đơn đồ thị, đa đồ thị, giải thích.

- HS thực hiện Luyện tập 2, giải thích G là đơn đồ thị hay đa đồ thị.

- HS thực hiện HĐ 3.

- GV giới thiệu về đồ thị đầy đủ, đặt câu hỏi thêm:

+ Nếu đồ thị đầy đủ thì các cặp đỉnh của chúng có mối quan hệ gì?

(Là các đỉnh kề nhau).

- HS viết chú ý.

- HS đọc hiểu Ví dụ 3, yêu cầu HS trình bày lại vào vở.

- HS thực hiện Luyện tập 3.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Đồ thị

HĐ 1:

a)

b)

c) Bạn Cường có nhiều bạn nhất. Bạn Dung có ít bạn nhất.

Tổng quát:

Một đồ thì là một tập hợp hữu hạn các điểm (gọi là các đỉnh của đồ thị) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay thẳng (gọi là cạnh của đồ thị) có đầu mút tại các đỉnh của đồ thị.

Chú ý: Theo định nghĩa của đồ thị, các cạnh của đồ thì thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào đều không quan trọng, mà bản chất là đồ thị có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và đỉnh nào được nối với đỉnh nào.

Kí hiệu:

V(G) là tập hợp các đỉnh.

E(G) là tập hợp các cạnh của đồ thị G, và viết G = (V, E).

Cạnh nối hai đỉnh AB kí hiệu là AB hoặc BA. Khi đó, A, B gọi là hai đỉnh kề nhau.

Nếu hai đầu mút của cạnh trùng nhau tại đỉnh C thì ta gọi cạnh ấy là một khuyên, kí hiệu CC.

Ví dụ: Hình 2.1

Đồ thị có 4 đỉnh A, B, C, D; có 5 cạnh: AB, AC, AD, BC và CC.

Ví dụ 1 (SGK – tr.35)

Luyện tập 1

Tập hợp các đỉnh của đồ thị G là:

V(G) = {D, H, M, T}

Tập hợp các cạnh của đồ thị G là:

E(G) = {DH, DM, DT, HT, HM, MT}.

b) Đơn đồ thị và đa đồ thị

HĐ 2:

a) Đồ thị trên không có khuyên.

b) Không có hai đỉnh nào của đồ thị được nối với nhau bằng nhiều hơn một cạnh.

Kết luận:

Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh được nối nhiều nhất một cạnh (không có hai cạnh nào cùng nối một cặp đỉnh) gọi là một đơn đồ thị.

Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh có thể nối bằng nhiều cạnh, gọi là một đa đồ thị.

Ví dụ 2:

Đa đồ thị: Hình a, c.

Đơn đồ thị: Hình b.

Luyện tập 2:

G là một đơn đồ thị, do hai đỉnh bất kì đều nối với nhau bởi không quá 1 cạnh.

c) Đồ thị đầy đủ

HĐ 3:

Không có cặp đỉnh nào của đồ thị này mà không có cạnh nào nối chung.

Kết luận

Một đồ thị là đầy đủ khi và chỉ khi mỗi cặp đỉnh của nó đều được nối bằng một cạnh.

Nhận xét: Một đồ thì đầy đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều là kề nhau. Một đồ thì đầy đủ hoàn toàn được xác định bởi số đỉnh của nó. Đồ thị đầy đủ có n đỉnh thường được kí hiệu là K_n.

Ví dụ 3:

Luyện tập 3:

Đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh:

Đồ thì đầy đủ có 6 cạnh:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 4.

- GV giới thiệu về đỉnh bậc n.

+ Chú ý về đỉnh cô lập, đỉnh treo.

+ GV cho HS quan sát ví dụ hình 2.5 và chỉ ra các bậc của các đỉnh.

- HS đọc, quan sát Ví dụ 4, giải thích.

- GV giới thiệu về định lí bắt tay và hệ quả.

- GV có thể hướng dẫn chứng minh: tổng bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số cạnh.

+ Ví dụ mỗi cạnh AB trong đồ thị, thì sẽ được tính một lần trong bậc của A và một lần trong bậc của B.

Nên tổng tất cả các bậc của đỉnh bằng 2 lần số cạnh.

- Từ kết quả đó thì tổng tất cả các bậc của các đỉnh phải là số chẵn (vì bằng 2m, với m là số cạnh của đồ thị).

- GV có thể yêu cầu HS chứng minh hệ quả từ định lí.

+ Do tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn.

Ta có: với các đỉnh có bậc chẵn tổng các bậc là số chẵn.

Với các đỉnh có bậc lẻ thì tổng cũng phải là số chẵn để tổng tất cả các bậc chẵn.

- HS đọc hiểu và trình bày Ví dụ 5, Ví dụ 6.

+ GV hướng dẫn ví dụ 5, gọi số đỉnh bậc 3 là x, rồi biểu diễn các dữ kiện đã cho theo ẩn.

+ GV hướng dẫn: với ví dụ 6, bài toán mở đầu, có thể mô hình hóa thành đồ thị với mỗi người là 1 đỉnh, hai đại biểu bắt tay nhau thì ta có 1 cạnh.

+ Theo số liệu cung cấp, xác định số đỉnh bậc 0, bậc 4, bậc 5, bậc 6.

- HS áp dụng làm Luyện tập 4. GV hướng dẫn:

+ Đặt x là số đỉnh bậc 3 của đồ thị.

+ Biểu diễn số đỉnh bậc 4 theo x.

+ Biểu diễn tổng số bậc của đỉnh, rồi giải phương trình.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Bậc của đỉnh

HĐ 4:

Đỉnh có đầu mút của 0 cạnh là: G,

Đỉnh có đầu mút của 1 cạnh là: F,

Đỉnh có đầu mút của 2 cạnh là: A, B.

Đỉnh có đầu mút của 3 cạnh là: D, E.

Kết luận:

Một đỉnh của đồ thị được gọi là đỉnh bậc n nếu nó là đầu nút của n cạnh.

Chú ý: Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo.

Ví dụ:

D là đỉnh bậc 3, F là đỉnh treo, G là đỉnh cô lập.

Ví dụ 4 (SGK – tr.37)

Định lí (định lí bắt tay):

Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn và bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G.

Hệ quả:

Số đỉnh bậc lẻ của mọi đồ thị là một số chẵn.

Ví dụ 5 (SGK -tr.38)

Ví dụ 6 (SGK – tr.38)

Luyện tập 4:

Gọi  là số đỉnh bậc 3 của đồ thị.

Khi đó, ta có số đỉnh bậc 4 là:

Tổng số bậc của các đỉnh là:

Vì đồ thị có 28 cạnh nên ta có:

Tức là

Phương trình này không có nghiệm là số tự nhiên, do đó không tồn tại đồ thị thỏa mãn điều kiện đề bài.